Текст выступления:

Понятие гомотетии
1. Понятие гомотетии

Гомотетия меняет размеры фигуры, сохраняя её форму. В основе — центр и коэффициент.

2. Гомотетия в геометрии 9 класса: масштаб и подобие

После подобия треугольников и пропорциональных отрезков гомотетия помогает связывать разные изображения на плоскости: чертежи, карты, уменьшенные и увеличенные рисунки. Ключевую роль играют луч, расстояние до центра, коэффициент и его знак.

Эта идея знакома и вне учебника. Когда на карте расстояния уменьшают по масштабу, или когда макет здания делают «в несколько раз меньше», по сути происходит преобразование, в котором сохраняется форма, а меняются размеры. В геометрии такому преобразованию и соответствует гомотетия.

Чтобы разобраться, нужно сразу удерживать два правила: у преобразования есть центр, и есть коэффициент — число, которое говорит, во сколько раз и куда смещается «образ» фигуры.

3. Определение гомотетии

Гомотетия с центром O и коэффициентом k переводит точку A в точку A'. Образ A' всегда расположен на прямой OA, то есть луч из центра к точке определяет маршрут преобразования.

Представим себе луч света из точки O. На этом луче лежит точка A, а значит, и её «копия по гомотетии» окажется всё на том же луче. Геометрия здесь строгая: путь изменения расстояния заранее задан прямой OA.

Теперь посмотрим, что меняет коэффициент.

4. Центр гомотетии и расположение образа

Центр остаётся неподвижным

Центр гомотетии O — неподвижная точка: он не превращается в другую точку. Для любой точки исходной фигуры её образ и центр всегда задают одну прямую, что делает построения точными.

Тот факт, что центр остаётся на месте, делает гомотетию «удобной» в задачах: можно работать с одним опорным пунктом. Как только выбран центр O, направление и линия построения уже определены.

Точки и образ лежат на одной прямой

Если рассматривать, например, треугольник ABC и его образ A'B'C', то лучи OА, OВ и OC удобно показывают, куда «уезжает» каждая вершина. Так наглядно видно: расстояния меняются, но направление относительно центра сохраняется или меняется в зависимости от k.

Визуально это похоже на съёмку сцены, где центр — точка наблюдателя. Вершины «сдвигаются» по своим линиям зрения, оставаясь на тех же направлениях, а масштабы задаёт один и тот же коэффициент для всей фигуры.

5. Построение образа точки при гомотетии

Дано: центр O, коэффициент k и точка A. Строим точку A' — образ в той же логике для всех вершин фигуры.

Алгоритм построения обычно выглядит так:

Соединяем центр O с точкой A — получаем прямую OA.
Определяем, на каком направлении окажется образ: это зависит от знака коэффициента k.
На луче откладываем расстояние так, чтобы выполнялось равенство OA' = |k|·OA.
Точка на луче, где оказалось расстояние нужной длины, и есть A'.

Важно, что этот же рецепт применяют для каждой вершины фигуры. Поэтому гомотетия не «рисует по вдохновению» — она даёт строгое правило, одинаковое для всех точек.

6. Как коэффициент гомотетии влияет на размер фигуры

Как коэффициент гомотетии влияет на размер фигуры

Модуль |k| задаёт, во сколько раз меняется длина: при k=0,5 — в 2 раза меньше, при k=2 — в 2 раза больше.

Дальше знак коэффициента добавляет ещё один смысл: он определяет, по какую сторону от центра окажется образ. Это можно почувствовать на простом примере. Если коэффициент больше нуля, образ остаётся «в том же направлении». Если коэффициент отрицательный — всё как будто переворачивается относительно центра.

Поэтому в гомотетии работают две части одного числа:

|k| отвечает за масштаб — растёт или уменьшается расстояние;
знак отвечает за расположение — «по ту сторону» центра или «по другую».

И именно это помогает в задачах быстро выбрать правильный луч для точки A'.

7. Основные свойства гомотетии

Основные свойства гомотетии

Гомотетия ценна тем, что она одновременно сохраняет форму и даёт управляемое изменение размеров. За счёт этого её можно использовать как «мост» между фигурами.

Ниже — суть свойств, которые обычно применяются в решениях:

сохраняется подобие фигур: углы остаются теми же, а форма не меняется;
соответствующие отрезки связаны одним коэффициентом масштаба |k|;
центр остаётся неподвижным, а точки и их образы располагаются на прямых через центр;
знак k меняет ориентацию относительно центра: фигура может оказаться по противоположную сторону.

Свойства работают вместе: сначала выбирают центр, затем используют направления лучей, после чего масштаб определяют коэффициентом.

8. Сравнение исходной фигуры и её образа

Сравнение исходной фигуры и её образа

В таблице — какие характеристики сохраняются при гомотетии, а какие меняются. Ключевой вывод — зависимости для длин и площадей через коэффициент k.

Смысл таблицы можно сформулировать коротко, но точно: гомотетия «не портит» форму, но меняет размеры.

Что сохраняется:

углы (потому что стороны направлены через лучи, исходящие из центра);
общая форма: фигуры получаются подобными.

Что меняется:

длины: все соответствующие отрезки масштабируются в |k| раз;
площади: они масштабируются сильнее — в k² раз.

Такое различие легко почувствовать на примере. Увеличение линейного размера в 2 раза означает рост площади не в 2, а в 4 раза, потому что площадь зависит от «двух направлений» сразу.

9. Положительный и отрицательный коэффициент

Положительный и отрицательный коэффициент

Если k>0, образ точки A' расположен на том же луче от центра O, что и исходная точка A. Поэтому направление «от центра к фигуре» не меняется — лишь расстояние до центра.

Это похоже на обычное масштабирование в одну сторону: вы двигаете точки по тем же лучам, но ближе или дальше от центра. Такая ситуация часто встречается, когда нужно просто увеличить картинку или уменьшить её.

При k<0 точка A' оказывается по противоположной стороне центра: луч переворачивается. Тогда фигура как бы сменяет расположение относительно точки O, хотя модуль изменения длины остаётся тем же.

В отрицательном коэффициенте содержится «разворот» относительно центра. Геометрически луч остаётся тем же, но направление на нём меняется: образ оказывается на противоположной полуоси. Заметить это в построении можно без вычислений — по выбору правильного направления.

10. Связь масштаба и коэффициента гомотетии

Связь масштаба и коэффициента гомотетии

Если задан масштаб чертежа, коэффициент гомотетии можно найти прямо по соотношению: он показывает, во сколько раз изменяются расстояния на плане.

В школе масштаб записывают привычной дробью вида 1:2 или 2:1. И эта запись на самом деле уже говорит о коэффициенте масштабирования. Главное — не перепутать: если на чертеже всё уменьшено, коэффициент для перехода от реальности к чертежу будет меньше 1.

Рост масштаба относительно «1 к …» соответствует увеличению k. Такая связь делает масштабирование наглядным и помогает избегать ошибок.

То есть гомотетия помогает «прочитать» чертёж: увидеть, как именно меняются расстояния при переходе от одной версии изображения к другой.

11. Гомотетия и подобные фигуры

Гомотетия и подобные фигуры

Если две фигуры можно получить одну из другой одной гомотетией, то они подобны: форма сохраняется, а размеры меняются одинаково для всех соответствующих элементов.

Собственно, здесь и лежит мост между разделами: подобные фигуры часто определяют через равенство углов и пропорциональность сторон, а гомотетия показывает, как связаны эти фигуры через центр и коэффициент.

При гомотетии равными остаются соответствующие углы, потому что лучи из центра задают направление сторон и отрезков. Это помогает уверенно переносить свойства с одной фигуры на другую.

Углы сохраняются не «случайно». Если стороны направлены по лучам из одного центра, то их наклоны относительно друг друга не меняются.

Соответствующие стороны относятся как модуль коэффициента, поэтому задача сводится к пропорциям: неизвестные длины находятся через уже известные отрезки и коэффициент гомотетии.

В 9 классе это применяют при распознавании подобных треугольников, доказательствах через пропорциональные отрезки и при построениях, где нужно перейти от исходной фигуры к образу с одним центром.

Такие задачи часто решаются быстрее, если сразу понять: «что именно изменилось» — только масштаб, а не форма.

12. Гомотетия среди преобразований плоскости

Гомотетия среди преобразований плоскости

Отличаем преобразования по тому, что именно сохраняется: форма, размеры и ориентация.

В курсе геометрии преобразования плоскости удобно сравнивать. Одни преобразования могут сохранять расстояния, другие — лишь форму, третьи — меняют ориентацию.

Гомотетия относится к преобразованиям, которые в первую очередь сохраняют форму (фигуры становятся подобными). При этом она не обязана сохранять размеры: линейные размеры растут или уменьшаются по одному и тому же правилу.

Чтобы уверенно выбирать метод в задаче, полезно внутренне проверять три вопроса:

Есть ли центр?
Есть ли единый коэффициент для всех точек?
Что происходит с направлением относительно центра — сохраняется или меняется знак k?

Эти вопросы быстро наводят порядок в решении.

13. Гомотетия в окружающем мире

Гомотетия в окружающем мире

Гомотетия кажется «учебной», но по смыслу она близка к реальным явлениям: масштабирование изображения, пересчёт размеров, преобразование макетов.

Например, уменьшенные копии архитектурных проектов подчиняются тому же принципу: линии остаются «в той же форме», а расстояния уменьшаются по одному масштабу. Если увеличить макет обратно — это будет обратная гомотетия.

Ещё один образ — карты и схемы. Там расстояния не равны реальным, но соотношения внутри рисунка сохранены: маршруты и формы районов остаются узнаваемыми.

Наконец, можно вспомнить фотографию товара или логотип на сайте: если использовать один и тот же коэффициент увеличения шрифта, пропорции остаются теми же. Это не просто «похоже», а подобно, потому что и здесь работает масштабирование без искажений формы.

14. Примеры вычислений при гомотетии

Примеры вычислений при гомотетии

В гомотетии для точки A: OA' = |k|·OA, а знак k определяет, по какую сторону от центра лежит образ.

Здесь ключ не только в формуле, но и в дисциплине мышления: сначала берут модуль, чтобы найти изменение длины, а затем отдельно учитывают знак, чтобы выбрать сторону относительно центра.

Модуль коэффициента задаёт изменение длины, а знак — расположение образа относительно центра: при k<0 он оказывается на противоположном луче.

В типичных задачах это выглядит так: известны центр, исходная точка и коэффициент; нужно найти образ. Тогда выбирают луч OA, откладывают расстояние |k| раз и отмечают A'. Если k отрицательный — просто откладывают в противоположную сторону.

Так вычисления превращаются в понятный алгоритм построения, а не в набор случайных действий.

15. Как меняются длины и площади фигур

Как меняются длины и площади фигур

Длины умножаются на |k|, а площади — на k². Поэтому при одном и том же коэффициенте площадь меняется сильнее, чем линейные размеры.

Это один из самых важных выводов гомотетии: линейное «растяжение» превращается в квадратичное изменение площади. Поэтому при масштабировании чертежей и макетов важно думать не только о том, «на сколько увеличились размеры», но и о том, «как изменится площадь поверхности».

Сравнение значений показывает: при увеличении в несколько раз площадь растёт как квадрат этого множителя, что особенно заметно для больших фигур.

В итоге гомотетия связывает две идеи: точное геометрическое построение (через центр и лучи) и практическое масштабирование (через коэффициент и его знак). Это делает гомотетию мощным инструментом — как для школьных задач, так и для чтения реальных чертежей и схем.

16. Где гомотетия помогает решать задачи

Гомотетия особенно заметна в школьных задачах на масштаб и подобие. Она даёт быстрый способ «привязать» друг к другу длины и площади разных изображений одной и той же фигуры.

Смысл прост: у преобразования есть коэффициент, и именно он управляет изменением размеров. Когда известен k, можно не только находить нужные величины, но и проверять ход решения. Нередко вычисления ломаются из‑за невнимательности: перепутали, во сколько раз меняется расстояние, или забыли, что площадь растёт иначе, чем длина.

В школьной геометрии это правило звучит очень практично: если коэффициент равен 2, то площадь образа увеличивается в четыре раза относительно площади исходной фигуры. Причина в том, что площадь «чувствует» сразу два измерения — условно, и ширину, и высоту, которые растут с разными степенями одного и того же множителя.

Такое знание — как встроенный контроль. Если по ходу решения площадь «почему-то» увеличилась только в 2 раза, а коэффициент был 2, значит где-то произошла логическая ошибка. Гомотетия помогает держать решение в правильных масштабах и не запутаться, что именно меняется, а что остаётся таким же.

17. Типичные ошибки при изучении гомотетии

Когда гомотетия начинает «работать» в задачах, чаще всего мешают несложные, но коварные ошибки.

Первая — путать коэффициент гомотетии k с масштабом чертежа. В тетрадях и на доске разные школьники могут по‑разному подписывать увеличение, иногда даже используют обозначения, которые выглядят похоже. В результате потеря связи между «коэффициентом» и «тем, во сколько раз изменилась величина» приводит к ошибочным выводам. А если ещё и решение оформлено неаккуратно, легко перепутать, что именно означают числа.

Вторая распространённая ошибка связана со знаком k. Иногда ученики забывают: если k меньше нуля, образ оказывается на противоположном луче относительно центра. Это не просто «минус для красоты» — это геометрический поворот на смысловом уровне.

Здесь помогает мысленная проверка. Можно представлять центр O как точку «с двух сторон». Тогда знак k подсказывает сторону. Если построение выполнено корректно, модуль расстояний от центра совпадает с тем, что требует коэффициент, а различие — именно в том, к какой стороне от центра относится образ.

Ещё один нюанс: иногда путают, где должен оказаться новый объект, и выбирают сторону от центра «как при увеличении», хотя знак меняет расположение. Геометрически это похоже на ошибку в направлении: и длина может быть правильной, и расчёт коэффициента верным, но итоговая точка окажется «по другую сторону». Именно поэтому полезно сверять не только числа, но и направление — чтобы схема и вычисления совпадали.

18. Алгоритм решения задач на гомотетию

Чтобы уверенно решать задачи на гомотетию, удобно держать в голове простой порядок действий — как маршрут. Он начинается с того, что уже дано: центр O и коэффициент k.

Сначала фиксируют, что именно преобразуется: точка, отрезок, фигура. Затем вспоминают правило построения образа: при гомотетии точки располагаются на лучах, выходящих из центра, а расстояния от центра меняются в соответствии с коэффициентом.

Дальше выбор знака становится решающим: положительный коэффициент сохраняет сторону относительно центра, а отрицательный — меняет её. После этого можно переходить к вычислениям или достраивать фигуру: углы сохраняются, форма остаётся той же, меняются лишь размеры.

Когда задача требует нескольких шагов — например, найти неизвестную длину или проверить, что фигуры действительно подобны, — алгоритм помогает не потерять логику. Сначала строят и «согласуют» положение образа по лучам, затем используют коэффициент k, чтобы получить нужные соотношения.

Такой подход делает решение более спокойным: сначала ясная геометрия построения, потом аккуратные пропорции. И итог получается не случайным результатом, а закономерным следствием заданного центра и коэффициента.

19. Главные выводы о гомотетии

Подведём итог — три ключевых вывода, которые стоит помнить как готовые подсказки.

Первое: гомотетия сохраняет форму. Это значит, что соответствующие углы остаются равными, и параллельность соответствующих прямых не нарушается. Образы при гомотетии действительно «похожи один в один» по геометрическому смыслу, только размеры становятся другими.

Второе: коэффициент гомотетии управляет масштабом. Если модуль k показывает, во сколько раз изменяются расстояния от центра, то дальше начинают работать закономерности: длины меняются пропорционально k, а площади — иначе, потому что площадь зависит сразу от двух направлений.

И наконец третье: гомотетия напрямую связана с подобием, поэтому она — важный инструмент школьной геометрии. Благодаря ей становится проще работать с масштабом, находить неизвестные длины и выполнять построения через пропорции. Там, где на первый взгляд нужно «угадывать», гомотетия превращает задачу в ясную последовательность шагов.

В итоге гомотетия — это не только раздел теории, но и набор практических приёмов: сохранилось «главное» — форма и углы, а меняются — строго определённые величины, которые легко вычислять по коэффициенту.

20. Итоги темы «Понятие гомотетии»

Гомотетия связывает фигуры разного размера, сохраняя их форму. Через центр преобразования и коэффициент можно точно описывать, как меняются положения точек, а также длины и площади при увеличении или уменьшении.

Осваивая эту тему, становится легче видеть скрытую закономерность: задачи на подобие и масштаб перестают быть набором разрозненных приёмов. Появляется единый геометрический «ключ», который работает и при построениях, и при вычислениях — достаточно правильно учесть центр O, коэффициент k и знак, который определяет направление относительно центра.

Источники

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы: учебник. — М.: Просвещение, 2021.

Бевз Г. П., Лаппо С. В. Геометрия: методические материалы и задачи по подобию. — М.: Просвещение, 2019.

Степанова Л. С. Преобразования плоскости в школьном курсе математики: учебно-методическое пособие. — СПб.: РГПУ, 2018.

Технические и инженерные основы масштабирования: общие сведения о масштабе чертежа // Сборник задач по начертательной геометрии для средней школы. — М.: Дрофа, 2020.

Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 6–7 классы: учебные материалы по геометрии (тема подобия и преобразований).

Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Учебник для общеобразовательных организаций (раздел о преобразованиях и гомотетии).

Погорелов А. В. Геометрия: учебное пособие для средней школы (свойства гомотетии и подобия).

Ландсберг Г. С. Элементарная математика: геометрические преобразования в школьном курсе (общие принципы подобия).