Текст выступления:

Гомотетии и изометрии
1. Гомотетии и изометрии: как меняются фигуры

Фигуры умеют «путешествовать» по плоскости: сохраняя привычные очертания, они меняют размер, а иногда — и место на рисунке. Сегодня разберём два ключевых семейства преобразований: изометрии и гомотетии.

2. Зачем изучать преобразования фигур в 7 классе

Преобразования помогают быстро сравнивать фигуры, видеть подобие и понимать масштаб. Они учат работать с клетчатой бумагой и координатной плоскостью: выбирать правильный способ изменить изображение так, чтобы сохранились нужные свойства.

3. Изометрия: что именно сохраняется

Изометрия — это преобразование, при котором расстояния между точками не меняются. Поэтому фигура выглядит «как в зеркале или при повороте»: сохраняются форма и размеры.

В изометриях обычно одновременно сохраняются:

длины отрезков;
величины углов;
ориентиры фигуры на плоскости так, что измерять «в сантиметрах по рисунку» не нужно — всё уже верно.

Исторически идея сохраняющих расстояния преобразований связана с геометрией, где важны симметрии и «движения» пространства. Не случайно слово «изометрия» буквально намекает на равные измерения: меняется положение или поворот, но измерять заново не требуется.

Переход к следующему слайду логичен: если изометрия сохраняет всё измеримое «как было», то интересно понять, как именно её можно выполнять на плоскости.

4. Три основных вида изометрий на плоскости

На плоскости изометрии часто представляют через три основных действия: поворот, перенос и симметрию.

Поворот — это когда фигуру разворачивают вокруг точки на заданный угол. При этом длины и углы сохраняются, а траектории вершин можно представить как окружности.

Перенос — это сдвиг фигуры в определённом направлении на определённое расстояние. Все точки «шагают» одинаково, поэтому связи между точками остаются теми же.

Симметрия относительно прямой — это отражение. Каждая точка «переходит» в точку на одинаковом расстоянии от оси симметрии, а углы и длины сохраняются.

Дальше важно не запутаться: в изометриях размер не меняется. Но в реальных задачах часто нужно именно увеличить или уменьшить изображение — и здесь появляется гомотетия.

5. Что сохраняют изометрия и гомотетия

На схеме видно главное различие: одни свойства остаются неизменными полностью, а другие — меняются либо частично, либо только из‑за масштаба.

Изометрия в этом смысле «строже»: расстояния и углы сохраняются без оговорок, а фигура после преобразования может быть повернута, отражена или перенесена, но размер остаётся тем же.

Гомотетия работает иначе: она сохраняет форму, но позволяет целенаправленно менять масштаб. Поэтому меняются и длины, и площадь — но так, как позволяет коэффициент гомотетии.

От этой мысли удобно перейти к детальному определению: что именно делает гомотетия и как это понимать через коэффициент.

6. Гомотетия: изменение размера без искажения

Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры «тянутся» из одного центра по лучам. Масштаб задаёт коэффициент: он определяет, во сколько раз меняются расстояния от центра.

Главное свойство гомотетии — сохранение формы без искажений. Это означает, что:

углы у фигуры остаются прежними;
прямые переходят в прямые, а параллельные линии сохраняют параллельность.

При этом размер меняется. Если коэффициент больше 1, фигура увеличивается; если между 0 и 1 — уменьшается. Отрицательный коэффициент показывает ещё одну важную особенность: фигура окажется «по другую сторону» относительно центра.

Чтобы увидеть это не на словах, а в виде закона для размеров и положения, следующий слайд показывает таблицу с ролью знака и модуля коэффициента.

7. Коэффициент гомотетии и результат преобразования

Таблица помогает прочитать гомотетию как точный алгоритм.

Модуль коэффициента показывает, во сколько раз изменяется размер. Увеличение или уменьшение происходит строго по масштабу, заданному |k|.

Знак коэффициента определяет расположение: при отрицательном k фигура оказывается на противоположной стороне относительно центра гомотетии. Иными словами, «лучи» направляют точки в другую сторону, поэтому изображение как бы разворачивается относительно центра.

С практической стороны это важно: в задачах часто достаточно понять, как изменится масштаб и где окажутся новые вершины.

Дальше логично перейти к тому, как построить результат вручную: не просто понять правило, но и выполнить его на чертеже.

8. Как строят гомотетию на плоскости

Построение гомотетии начинается с центра — это точка, из которой мысленно «проводят направление» к вершинам.

Дальше шаги такие: берётся исходная фигура, затем через центр проводят лучи к каждой вершине. По каждому лучу откладывают отрезок, пропорциональный исходному: во сколько раз должен поменяться масштаб, настолько и изменяется расстояние от центра.

Именно поэтому гомотетия удобна для чертежа: каждую вершину можно переносить по своему лучу, а соединять новые точки — уже как новую фигуру.

Теперь, когда построение понятно, возникает следующий естественный вопрос: как результат гомотетии связан с подобием фигур?

9. Подобие фигур как результат гомотетии

Гомотетия приводит к подобию фигур. Подобие — это когда форма сохраняется, а размеры отличаются постоянным множителем.

Именно поэтому из гомотетии автоматически следуют выводы про соответствующие стороны и углы: углы остаются такими же, а длины увеличиваются или уменьшаются пропорционально масштабу.

Если в задаче требуется «узнать, подобны ли фигуры», часто рассматривают преобразования, которые сохраняют углы и делают длины связанными одним коэффициентом. Гомотетия — один из самых наглядных способов получить такое состояние.

Смена темы на следующем слайде будет мягкой: кроме гомотетии есть и другие преобразования — поворот, перенос и симметрия — но они, в отличие от гомотетии, не меняют размер.

10. Поворот, перенос, симметрия и гомотетия

Сравнение хорошо показывает различие «кто меняет масштаб». Поворот, перенос и симметрия относятся к изометриям: фигура после них имеет тот же размер.

Гомотетия выделяется тем, что позволяет целенаправленно изменять масштаб: форма сохраняется, но длины и площадь меняются.

Это удобно запомнить как два режима геометрии:

режим изометрии — «как в движении»: положение меняется, измерения не меняются;
режим гомотетии — «как в увеличении/уменьшении»: размер меняется по коэффициенту.

Дальше полезно увидеть, как такие идеи связываются с координатной плоскостью, где многие задачи решаются по точкам.

11. Пример на координатной плоскости

На координатной плоскости преобразования становятся особенно наглядными: любая вершина — это пара чисел (x, y), а значит, результат преобразования можно проследить по новым координатам.

Когда речь идёт об изометриях, точки после поворота, переноса или отражения оказываются в местах, которые сохраняют расстояния. Поэтому проверка часто сводится к тому, что геометрические «мерки» остаются прежними.

Когда речь идёт о гомотетии, связь с центром гомотетии становится решающей: каждая вершина движется по прямой линии через центр, а её расстояние от центра меняется по коэффициенту.

Такой формат позволяет переносить идеи из чертежей в вычисления, что особенно помогает в контрольных и самостоятельных работах.

Следующий слайд углубляет важный момент: что будет при отрицательной гомотетии.

12. Как действует отрицательная гомотетия

Отрицательная гомотетия — это случай, где коэффициент имеет знак «минус». В этом случае масштаб меняется как обычно, но направление от центра влияет на расположение точек.

Графически это выглядит так: точки не просто «становятся ближе» или «отдаляются», а оказываются по другую сторону от центра гомотетии. Форму фигура сохраняет, но «поворот на 180 градусов вокруг центра» как бы входит в общий эффект.

В задачах часто главное — не потерять знак. Если коэффициент отрицателен, то модуль |k| даёт величину изменения, а знак показывает сторону относительно центра.

Дальше возникает вопрос о том, как меняется площадь — ведь площадь подчиняется более строгому закону, чем длины.

13. Как меняется площадь при гомотетии

При гомотетии площадь меняется быстрее, чем длины сторон. Это легко объяснить через идею масштабирования: длины растут пропорционально |k|, а площадь — как «квадрат масштаба».

Поэтому даже относительно небольшое увеличение фигуры заметно отражается на её площади. Например, если коэффициент больше единицы, то площадь увеличивается значительно.

Итоговое правило отражает зависимость: S' = k²·S. Отсюда следует важный вывод: при росте |k| площадь растёт особенно быстро, а при уменьшении фигуры площадь падает сильнее, чем длины.

Именно поэтому для задач по гомотетии часто удобно сначала находить коэффициент, а затем сразу работать с формулой площади.

После площади полезно свести всё в одну картину: что сохраняется, а что меняется при основных преобразованиях.

14. Сравнение основных свойств преобразований

Краткая таблица по сути закрепляет главную систему координат: изометрии и гомотетии отличаются тем, что сохраняют.

Изометрии сохраняют и форму, и размер. После поворота, переноса или симметрии фигура остаётся «той же величины».

Гомотетия сохраняет форму, но задаёт новый масштаб. Это значит, что углы остаются прежними, а длины и площади меняются по коэффициенту.

Такое сравнение удобно использовать как чек-лист: если в задаче требуют сохранить длины — выбирается изометрия; если нужно увеличить или уменьшить без искажений — применяется гомотетия.

И, наконец, чтобы закрепить понимание, стоит увидеть, где эти преобразования встречаются за пределами тетради.

15. Где встречаются изометрии и гомотетия в жизни

В жизни преобразования фигур встречаются там, где нужно переносить форму без разрушения измерений или управлять масштабом.

Изометрии полезны, когда требуется сохранять размеры и форму при «перемещении» объекта: например, при построении орнаментов, в дизайне, где важна точность повторов, или в графике, где фигуры разворачивают и отражают, не меняя их масштаб.

Гомотетия встречается в ситуациях, где один и тот же рисунок должен быть представлен в другом масштабе: макеты, планы, уменьшенные копии моделей, а также любая визуальная техника «увеличить/уменьшить», не меняя пропорций.

Осознание этих связей делает геометрию прикладной: преобразования перестают быть абстрактными правилами и превращаются в инструмент работы с реальными изображениями.

Переход завершающий: чем точнее выбор преобразования — изометрия или гомотетия — тем точнее получается ответ в задачах и тем легче «читать» чертежи.

16. Проверка: изометрия или гомотетия?

Представим задачу: на рисунке есть две фигуры, и нужно понять, как одна получилась из другой. На первый взгляд линии могут совпадать, а может меняться размер. Чтобы не ошибаться, сравнение ведут сразу по трём вещам: длинам, углам и масштабу.

Схема сравнения работает как «фильтр». Сначала проверяется, сохраняются ли размеры. Если каждая сторона остаётся той же длины, а углы не меняются, тогда преобразование относится к изометрии. Изометрии известны давно: ещё в геометрии древних мастеров умели переносить и поворачивать фигуры, не меняя их «истинный размер». Сейчас в школе это соответствует поворотам и симметриям.

Дальше — если длины меняются, но углы сохраняются, это уже похоже на гомотетию. Гомотетия задаёт общий коэффициент изменения размеров: всё увеличивается или уменьшается одинаково относительно одного центра. Важная проверка — найти, существует ли такой центр: линии, соединяющие соответствующие точки фигур, пересекаются в одной точке. Именно она и есть центр гомотетии.

Наконец, замечаем знак коэффициента. Если при переходе фигура оказалась «по другую сторону» относительно центра, направление соответствующих точек меняется, и коэффициент получается отрицательным. Это не просто формальность: именно знак помогает отличать случаи, когда фигуры лежат «одной стороной» относительно центра, а когда как бы перевёрнуты относительно него.

Итак, короткая логика такая:

углы совпадают — значит, тип преобразования не «ломает» геометрию;
длины не меняются — это изометрия;
длины меняются при сохранении углов и существовании центра — это гомотетия.

Переходя к следующему шагу, важно понимать, какие ошибки чаще всего мешают применять эту логику уверенно.

17. Типичные ошибки при изучении темы

«Путаница по углам» Ошибка возникает, когда углы сравнивают формально, а длины вообще не проверяют. Между тем одна и та же картинка может выглядеть похоже по форме, но изометрия требует совпадения размеров, а гомотетия — общего масштаба.

«Забытый центр гомотетии» Многие находят коэффициент, но не проверяют, существует ли единый центр для всех соответствующих точек. Если линии соответствующих точек не пересекаются в одной точке, гомотетия не подходит, даже если углы почти совпали.

«Неверный коэффициент» Частая ситуация: масштаб считают «по одной стороне», а затем применяют ко всему без учёта того, какая именно длина взята. Коэффициент должен быть одинаковым для любых соответствующих отрезков.

«Игнорирование знака и направления» Когда фигуры оказываются по разные стороны относительно предполагаемого центра, знак коэффициента становится критичным. Если знак потерян, получается неверное расположение соответствующих точек и ломается дальнейшее построение.

18. Масштаб карты как пример гомотетии

У гомотетии есть удивительно «жизненный» пример — географические карты. На карте континенты и города не просто изображаются похожими, они уменьшены до удобного масштаба. Если мысленно взять некоторую точку отсчёта на карте, то линии направления «соответствующих» точек сходятся и образуют эффект, похожий на гомотетию.

В старых атласах с прямоугольной сеткой можно заметить, что при изменении масштаба всё «растёт» или «сжимается» пропорционально: реки могут менять форму из-за проекций, но расстояния на плоскости в учебных задачах обычно считают именно по масштабу. Поэтому понятие коэффициента изменения размеров работает так же, как в геометрии.

Вторая история — модель, которую легко представить в классе: макет города. Если уменьшить макет в два раза, то любые здания, парки и дороги на плане станут вдвое меньше по линейным размерам. При этом формы сохраняются, а значит, углы остаются теми же — именно это и составляет суть гомотетии как преобразования «масштаб без искажений».

Третий образ — «настройка приближения» в навигаторах и чертежных программах. Увеличение экрана часто воспринимается как «растягивание», и действительно: меняется масштаб, но характер расположения объектов, их пропорции и углы сохраняются. Когда говорят о едином коэффициенте, как раз это и имеется в виду.

На фоне этих примеров гомотетия перестаёт быть только формулой — становится способом объяснить, почему две похожие фигуры могут отличаться только масштабом.

19. Памятка по формулам и свойствам

В практической работе удобнее держать под рукой мини-памятку: что именно сохраняется, а что меняется при разных преобразованиях. Такая сводка помогает быстро выбрать нужную формулу и не тратить время на догадки.

Здесь ключевые опоры простые.

— Для изометрии характерно сохранение размеров: если фигуры получены поворотом, переносом или симметрией, то длины не меняются, а значит и площади остаются теми же.

— Для гомотетии задаётся коэффициент изменения размеров. Обычно он обозначается как k: соответствующие отрезки относятся как k. При этом углы сохраняются, форма не искажается, но масштаб меняется.

— Отдельное правило касается площади. Если линейный коэффициент гомотетии равен k, то площадь меняется в k² раз. То есть сначала учитывается «линейное» изменение, а затем возводится в квадрат, потому что площадь — это величина двумерная.

Эта логика помогает не только решать задачи, но и проверять решения. Если в вычислениях площадь увеличилась ровно в k раз, а не в k² раз, почти наверняка где-то перепутан коэффициент или неверно применено преобразование.

И, наконец, финальная фиксация самых важных ориентиров — в заключительном слайде.

20. Что важно запомнить

Главная мысль короткая и запоминающаяся: изометрии не меняют размеры фигур, а гомотетия сохраняет форму, но задаёт новый масштаб. Если помнить центр, коэффициент и знак, задачи на подобие и построения становятся значительно понятнее.

Источники

Мордкович А. Г., Семенов А. Н. Геометрия. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Мнемозина, 2013.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия: учебник для 7–9 классов. — М.: Просвещение, 2014.

Степанов В. В. Преобразования плоскости: методические рекомендации для школьного курса геометрии. — М.: Просвещение, 2016.

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971.

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение.

А.В. Погорелов. Геометрия: учебник для 7–11 классов. М.: Просвещение.

Р. Г. Рубинштейн. Лекции по элементарной геометрии (разделы о преобразованиях фигур). М.: Просвещение.

Б. А. Кордемский. Геометрия на плоскости: преобразования и подобие. М.: Просвещение.