Текст выступления:

Свойства гомотетии
1. Свойства гомотетии: как меняются фигуры

Представим фигуру на листе: треугольник, круг, многоугольник. Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры «разъезжаются» или «сжимаются» по одному и тому же правилу относительно одного центра. При этом форма не теряется: фигура остаётся той же самой по очертаниям, только меняет размер и, в зависимости от коэффициента, может оказаться по другую сторону центра.

2. Гомотетия и подобие в 7 классе

На уроках геометрии эта тема становится мостиком между двумя важными идеями: подобием и масштабом. С помощью гомотетии удобно объяснить, почему у двух фигур одинаковые углы и связанные длины, даже если одна из них кажется больше или меньше. Если представить рисунок на чертеже, где один элемент «перенесли» в другой масштаб, становится понятно, что речь идёт именно о гомотетии и её следствиях для подобия, измерений и построений.

3. Определение гомотетии

Определяющий принцип гомотетии простой и строгий. Каждая точка исходной фигуры переходит в образ по одному и тому же правилу относительно одного центра. Это означает, что лучи, проведённые из центра через соответствующие точки, задают одинаковое «масштабирование» по всему рисунку. Такая однозначность важна: она гарантирует, что образ не получится «случайным» — он строится как точная геометрическая копия по смыслу «одинаковая форма — другая величина». В итоге можно сформулировать ключевое свойство преобразования: центр гомотетии остаётся неподвижным.

4. Как строится образ точки при гомотетии

Чтобы построить образ точки при гомотетии, выбирают центр O и коэффициент k. Дальше берут исходную точку, соединяют её с центром и рассматривают тот же луч: образ точки должен лежать на том же луче. Если коэффициент по модулю меньше единицы, точки «сближаются» к центру — отрезки уменьшаются. Если больше — образ удаляется. А если k отрицательный, образ оказывается на другом направлении того же луча: по одну сторону центра — при положительном, по другую — при отрицательном. Такой порядок действий превращает абстрактное определение в практический алгоритм построения: «идём от центра O» и соблюдаем заданный коэффициент.

5. Что сохраняется при гомотетии

Главный итог гомотетии — сохранение формы. Это проявляется в том, что углы не «ломаются»: очертания остаются теми же, только размеры меняются пропорционально. Во время построений это означает, что можно переносить и масштабировать элементы, не нарушая их геометрической структуры. Ещё один важный момент — прямые переходят в прямые, а отрезки — в отрезки: линии рисунка сохраняют общий характер. И, как следствие, фигуры оказываются подобными: отношения соответствующих длин фиксированы коэффициентом, а углы остаются равными. Именно поэтому гомотетия так удобна в задачах: она сохраняет «узор» фигуры, но меняет «масштаб кадра».

6. Как меняются длины при разных значениях k

Когда коэффициент гомотетии меняется, меняется и масштаб преобразования. Знак коэффициента отвечает за то, по какую сторону от центра окажется образ: положительный — на той же стороне, отрицательный — на другой. Модуль |k| показывает, насколько меняется расстояние от центра: во сколько раз отрезок «увеличится» или «уменьшится» относительно центра. Поэтому при одном и том же центре смена k — это как настройка «приближения» в чертеже: линия остаётся той же геометрической прямой, но её длина становится другой в строго заданное число раз.

7. Свойства гомотетии и их следствия

Кратко соберём то, что действительно важно при решении задач. Во-первых, сохраняется форма: фигуры остаются подобными. Во-вторых, сохраняются направления соответствующих отрезков относительно центра: лучи, связывающие центр с точками и их образами, используются в построении. В-третьих, размеры меняются пропорционально коэффициенту. А чтобы почувствовать, почему это «работает» именно так, стоит помнить: гомотетия строится как повторяющееся масштабирование вдоль лучей из одного центра. Именно поэтому её часто используют в задачах на чертежах: она позволяет переходить от одной подобной конфигурации к другой и обратно.

8. Гомотетия в чертеже и на картах

Гомотетия постоянно встречается вне строгих учебных задач. На картах масштабы меняют размеры объектов так, чтобы сохранялись формы маршрутов, береговых линий, контуров и относительных пропорций. Если два плана сделаны в разном масштабе и «соответствия» точек сохраняются, их связь можно описывать с помощью масштабного преобразования — по сути, родственника гомотетии. В чертеже гомотетия появляется, когда нужно построить точную копию элемента: например, оформить деталь в другом масштабе или перенести конструктивный элемент на план, не нарушив подобия.

9. Почему фигуры остаются подобными

Подобие — не случайность, а следствие того, как устроено преобразование. Если каждая точка переходит в образ по правилу, одинаковому для всего рисунка, то все соответствующие отрезки меняются пропорционально одному и тому же коэффициенту. Когда стороны фигур «масштабируются» одинаково, углы между ними тоже сохраняются: рисунок не деформируется, он лишь увеличивается или уменьшается. Поэтому можно уверенно говорить: две фигуры, полученные гомотетией, имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны — то есть они подобны.

10. Связь коэффициента и площади

До этого момента мы говорили о длинах. Но геометрия интересуется ещё и площадями. Если длина отрезка меняется в |k| раз, то площадь фигуры меняется в квадрат этого множителя: она растёт или уменьшается быстрее, чем размеры «по линейке». Важно понимать разницу: длина линейная, а площадь — величина «двухмерная». Поэтому и зависимость становится квадратичной. Эта идея помогает в задачах на масштабирование рисунков и плана местности: даже небольшая смена масштаба заметно отражается на площади объектов.

11. Отрицательный коэффициент гомотетии

Отрицательный коэффициент легко представить как смену направления «разбегания» или «сжатия» относительно центра. Если при положительном k образ лежит на том же луче и с той же стороны от центра, то при отрицательном k образ окажется на другой стороне: центр становится «точкой разворота» по направлению. При этом величина изменения расстояния от центра определяется модулем |k| — то есть модуль отвечает за «во сколько раз», а знак — за «куда именно» относительно центра. Вот почему при отрицательном коэффициенте фигуры остаются подобными, но расположение относительно центра меняется на противоположное.

12. Алгоритм построения многоугольника при гомотетии

Когда гомотетия действует не на одну точку, а на целый многоугольник, действуют поэтапно. Сначала фиксируют центр O и коэффициент k. Затем для каждой вершины многоугольника строят её образ по тому же правилу: через центр, с соблюдением нужного масштаба и направления. Дальше соединяют полученные образы вершин в том же порядке, в котором вершины соединялись в исходном многоугольнике. Так получается образ многоугольника: форма сохраняется, а размеры масштабируются согласно k. Этот алгоритм удобен тем, что сводит задачу к повторению одного и того же действия для каждой вершины.

13. Примеры вычислений при гомотетии

Практика начинается с вычислений: нужно понять, как меняются длины и где окажутся точки. Из школьного правила следует: расстояние от центра меняется по модулю коэффициента, то есть величина «во сколько раз» определяется |k|. Если коэффициент отрицательный, положение меняется по другую сторону от центра, но сама величина расстояния от центра снова соответствует модулю. Такие примеры обычно включают: выбрать центр, измерить расстояния от вершин до центра, умножить их на k по смыслу направления и восстановить расположение точек на чертеже. Постепенно приходит уверенность: гомотетия — это не «угадывание», а контролируемый расчёт с геометрическим смыслом.

14. Гомотетия и центральная симметрия

Отдельного внимания заслуживает связь гомотетии с центральной симметрией. Центральная симметрия — это преобразование, при котором точка переходит в противоположную относительно центра, как будто центр является «серединой пути». Если взять коэффициент гомотетии равным -1, то получится ровно такое отражение по центру: расстояния от центра сохраняются по модулю, а направление меняется на противоположное. Иначе говоря, центральная симметрия — частный случай гомотетии. Эта связь полезна в задачах: иногда условия можно перевести на язык коэффициентов, чтобы быстрее понять, как изменится положение фигур.

15. Что влияет на результат преобразования

В конце важно собрать в голове «факторы», которые определяют результат. Во-первых, центр O — это опора преобразования: именно относительно него строятся лучи и именно он задаёт геометрическую «ось» масштабирования. Во-вторых, коэффициент k управляет двумя вещами одновременно: размером и расположением образа. Модуль |k| показывает степень изменения размеров, а знак — сторону относительно центра. Схематически это можно представить как настройку: центр фиксирует, где находится точка отсчёта, а коэффициент задаёт масштаб и направление «перестройки» фигуры. Именно поэтому гомотетия так предсказуема: зная O и k, можно уверенно построить образ и объяснить, почему он будет подобен исходной фигуре.

16. Типичные ошибки при построении гомотетии

Гомотетия кажется простой: берем центр, выбираем коэффициент и «растягиваем» фигуру. Но именно здесь чаще всего возникают ошибки, из‑за которых получаются фигуры «похожими на взгляд», но неверными по геометрии.

Первая распространенная проблема — перепутать, в каком направлении действует коэффициент. При положительном коэффициенте точки лежат по одну сторону от центра, а при отрицательном — фигура оказывается на другой стороне. Из-за этого учащиеся иногда строят «почти то же самое», но направленность лучей получается неверной.

Вторая ошибка — нарушить сам принцип построения: каждый образ точки должен лежать на прямой, соединяющей исходную точку с центром гомотетии. Если для какой-то точки выбор делается «на глаз», без проверки коллинеарности, вся фигура может потерять строгую связь с оригиналом.

Третья причина неточностей — путаница с коэффициентом масштабирования. Гомотетия задает изменение линейных размеров в k раз, но не «равномерно по клеточкам», а через пропорцию на лучах. Поэтому вместо контроля отношений «расстояние к центру до образа» нужно именно сравнивать длины, а не ориентироваться на общую «крупность».

Четвертая ошибка — забыть, что при гомотетии сохраняются углы и параллельность, то есть рисунок должен быть подобен, а не просто похож по форме. Если линии выглядят как будто «тянулись» по‑разному, значит где-то сломан порядок соответствий, и построение нужно переделать.

Переход к следующему шагу естественен: когда удается избежать этих ошибок, начинает проявляться главный смысл гомотетии — она встречается всюду, где нужно сравнить «один и тот же рисунок» разных размеров.

17. Где встречается гомотетия в жизни

После того как гомотетию удалось построить корректно, становится видно: это не «школьная абстракция», а модель для многих ситуаций, где форма остается той же, меняется масштаб.

Во‑первых, гомотетия проявляется в мире изображений — от фотографий до макетов и чертежей. Один и тот же рисунок может быть получен как увеличение или уменьшение при сохранении геометрического подобия: меняются размеры, но контуры сохраняют «характер» формы.

Во‑вторых, гомотетия работает в архитектуре и проектировании. Когда план здания переводят в уменьшенную модель или, наоборот, масштабируют детали, сохраняется параллельность и соотношение длин. Это позволяет инженерам уверенно переносить форму из документа в реальный объект.

В‑третьих, ее можно увидеть в повседневных технологиях — например, в увеличении фрагментов карты или интерфейсных элементов, где важна именно сохранность формы при изменении размеров. Математическая идея здесь проста: «тот же рисунок, только в другом масштабе».

И наконец, гомотетия встречается в оптических эффектах и задачах на построение: когда лучи из точки формируют изображение, а затем изображение масштабируется относительно опорных точек, возникает подобная геометрическая схема. Именно поэтому геометрия гомотетии помогает не только строить фигуры, но и понимать, как устроены некоторые виды преобразований.

Теперь, чтобы связать все эти примеры с математикой, нужно опереться на то, что именно меняется при гомотетии: размеры и соответствующие величины, которые можно вычислять формулами.

18. Сравнение фигуры до и после гомотетии

Сравнение «до и после» лучше всего показывает характер преобразования.

Если коэффициент гомотетии отрицательный, фигура не просто уменьшается или увеличивается — она еще и переходит на другую сторону от центра, сохраняя внешний вид. То есть форма остается той же, но ориентация относительно центра меняется: лучи направлены в противоположные стороны.

При положительном коэффициенте фигура располагается по ту же сторону от центра, и изменения выглядят как «масштабирование» без разворота через центр.

Главный вывод из сравнения состоит в другом: гомотетия сохраняет геометрию фигуры в смысле подобия. Она по‑разному изменяет линейные размеры и потому меняет площадь. Именно связь с подобием делает гомотетию такой удобной: она позволяет уверенно предсказывать, как именно изменятся измеряемые величины.

Чтобы применять эти идеи в задачах, нужны короткие и точные формулы — следующий слайд именно об этом.

19. Ключевые формулы гомотетии

Формулы гомотетии — это «инструменты масштабирования» без лишних построений. Когда известно, что происходит с длинами, легко вычислить и то, как изменится площадь.

Первая основная идея: радиус‑вектор и пропорция расстояний. Для любой точки А и ее образа A′ выполняется правило, что точки A, A′ и центр гомотетии лежат на одной прямой, а расстояния от центра меняются в k раз. Это и есть точное математическое описание «тянем по лучу».

Вторая формула говорит о линейных размерах: при коэффициенте k все отрезки между соответствующими точками увеличиваются или уменьшаются в |k| раз. Поэтому, если известна длина в исходной фигуре, образ можно найти вычислением без масштабной линейки.

Третья формула — про площадь. Поскольку площадь связана с двумя измерениями (условно, с «квадратом» линейного масштаба), при гомотетии площадь изменяется в k² раз. Это особенно важно, потому что площадь растет быстрее, чем линейные размеры: увеличение в два раза по длине дает увеличение площади в четыре раза.

Четвертая мысль — про сохранение формы: углы и параллельность остаются неизменными, а значит фигуры остаются подобными. Поэтому геометрические отношения «между направлением линий» не ломаются, даже когда размеры меняются.

С этими формулами гомотетия превращается из рисунка в надежный расчет. Итог логики прост: если форма сохраняется, то меняется только масштаб — и это легко предсказать.

20. Гомотетия: форма сохраняется, размеры меняются

Гомотетия помогает точно менять масштаб фигур, не нарушая их форму. Она сохраняет углы и параллельность, а размеры и площадь меняются по понятным формулам.

В результате гомотетия становится мостом между рисунком и вычислением: наглядность помогает построить, а формулы — проверить и получить ответ. Именно поэтому подобные преобразования лежат в основе задач на подобие и масштаб в геометрии.

Источники

Школьный курс геометрии 7 класса: определение гомотетии и свойства подобия при гомотетии

Школьные материалы по теме «Гомотетия»: построение образов точек и фигур, зависимость длин и площадей от коэффициента

Н.Я. Виленкин, Л.А. Виноградова и др. Геометрия. Учебные пособия для основной школы: подобие фигур и геометрические преобразования

Формальные основы школьной геометрии: центральная симметрия как частный случай гомотетии (коэффициент k = -1)

Мордкович А. Г., Семенов А. В. Геометрия. 7–9 классы. М.: Мнемозина, 2018.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2019.

Киселев Г. М. Элементарная геометрия. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1956.

Краткий математический словарь / под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Советская энциклопедия, 1982.