Текст выступления:

Гомотетия
1. Гомотетия: увеличение и уменьшение фигур

Форма сохраняется, размер меняется: это и есть гомотетия.

Сегодня разберёмся, как одна фигура «переезжает» и «растёт» или «сжимается» так, что геометрический смысл остаётся тем же. И это не просто красивое слово: с гомотетией удобно объяснять подобие, масштаб и даже находить неизвестные длины и площади.

2. Зачем изучать гомотетию в 7 классе?

Гомотетия показывает, как одинаковые по форме фигуры могут отличаться размером.

Она связывает сразу несколько тем, которые обычно идут рядом: подобие фигур, масштаб, построения на плоскости. Благодаря гомотетии можно быстрее и увереннее работать с периметрами и площадями, а не только «рисовать по линейке».

3. Определение гомотетии

Гомотетия — это преобразование, при котором точки переходят в новые точки так, что новая точка лежит на луче, исходящем из центра гомотетии.

Ключевая идея такая: берётся центр гомотетии и коэффициент k. Для любой точки исходной фигуры строится линия через центр, и расстояние до образа от центра отличается во столько раз, во сколько k раз отличается соответствующее расстояние до исходной точки.

В результате получается фигура, которая похожа на исходную: углы сохраняются, параллельность сохраняется, а размеры меняются по масштабу. Поэтому гомотетия — один из самых «прямых» способов получать образ подобной фигуры.

4. Центр гомотетии и его роль

Центр гомотетии — это точка, которая остаётся неподвижной при преобразовании.

Все лучи, по которым «уезжают» точки исходной фигуры, проходят через этот центр. Поэтому если соединить центр с точкой и с её образом, эти три точки будут лежать на одной прямой.

Ещё один важный момент: коэффициент k управляет направлением и степенью изменения. При положительном k образ оказывается «по ту сторону», в ту же сторону от центра, что и исходная точка; при отрицательном k — образ меняет сторону и получается как бы «зеркальный по направлению поворот вокруг центра», но при этом сохраняется подобие.

Именно центр помогает проверять построения: если хотя бы одна точка получилась так, что её образ не лежит на соответствующем луче из центра, значит, преобразование выполнено неверно.

5. Как коэффициент влияет на размер фигуры

Основное влияние коэффициента гомотетии видно прямо из правил масштабирования.

По модулю k легко оценить, как меняются линейные размеры: отрезки, стороны многоугольников и вообще расстояния от центра изменяются в |k| раз.

Дальше это можно «продолжить» на более сложные величины: периметр меняется во столько же раз, во сколько раз изменяются стороны, а площадь — сильнее, потому что она связана с площадями квадратов размеров.

Чем больше |k|, тем заметнее изменения; знак k не влияет на то, насколько «крупной» становится фигура — он влияет на расположение образа относительно центра. Поэтому две гомотетии с коэффициентами k и -k дадут фигуры одного масштаба, но по разные стороны от центра.

6. Примеры коэффициента гомотетии

Рассмотрим типичные случаи коэффициента k, чтобы стало ясно, как именно меняется фигура.

Когда k положительный, точки «уходят» от центра в том же направлении: фигура получается увеличенной или уменьшенной, но расположенной «как ожидалось» по лучам.

Когда k отрицательный, знак меняет направление: образ оказывается по другую сторону центра, хотя масштаб по модулю сохраняется.

А если k равен 1, получается тот же самый размер и та же фигура — образ совпадает с исходной. Если k равен 0, то все точки сходятся в центр: фигура как бы сворачивается в одну точку.

Главный вывод такой: модуль k отвечает за масштаб, а знак — за положение образа относительно центра. Поэтому, выбирая k, важно смотреть не только на величину, но и на направление результата.

7. Построение образа точки при гомотетии

Теперь соберём процесс построения в понятную последовательность — от идеи к рисунку.

Сначала выбирается центр гомотетии O и задаётся коэффициент k. Затем берётся исходная точка, которая должна перейти в образ.

Дальше через центр и исходную точку проводится прямая (луч). На ней откладывается расстояние по правилу масштаба: расстояние от центра до образа должно быть в k раз (по модулю — в |k| раз) больше или меньше соответствующего расстояния до исходной точки.

Если k положительный — образ лежит на том же луче по «ту же сторону»; если k отрицательный — образ окажется на противоположном направлении от центра.

Когда образ точки найден, аналогично строятся образы всех остальных точек фигуры: соединяются соответствующие пары точек, и получается образ всей фигуры.

8. Гомотетия на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге гомотетию особенно удобно проверять: точность и «клеточные расстояния» хорошо помогают увидеть, где образ должен оказаться.

Выбирается центр O, затем исходная точка и луч через неё. После этого масштаб по |k| читается почти «на глаз»: например, если нужно увеличить в 2 раза, то расстояние до образа будет вдвое больше.

Особенно полезно, что на клетках хорошо заметно сохранение формы: линии, которые были параллельны, остаются параллельными, а углы — теми же по величине.

И ещё одна практическая польза: гомотетия помогает аккуратно переносить точки между фигурами без лишних вычислений. Если построение получилось «смазанным», проще всего проверить: лежит ли образ на луче из центра и соблюдается ли нужный масштаб по отрезкам.

9. Связь гомотетии и подобия фигур

Гомотетия и подобие — очень близкие понятия: гомотетия — это способ построить подобную фигуру.

При гомотетии сохраняются углы — значит, форма не «ломается». Это и есть главный признак подобия: фигуры одинаковой формы могут отличаться масштабом.

Сохраняется и параллельность: если в исходной фигуре стороны идут параллельно, то и в образе они будут параллельны. Благодаря этому удобно контролировать качество построений.

И, наконец, длины меняются пропорционально коэффициенту. Поэтому гомотетия позволяет связать параметры фигур: зная масштаб, можно понять, как изменяются периметр и площади, а значит — решать задачи быстрее и увереннее.

10. Что сохраняется, а что меняется при гомотетии

Гомотетия сохраняет геометрию формы, но меняет масштаб.

При преобразовании важно отдельно проверять две вещи: ориентацию фигуры и положение центра. Это нужно, чтобы не перепутать, где окажется образ, особенно когда коэффициент отрицательный.

В целом гомотетия сохраняет углы, параллельность и порядок вершин — то есть «рисунок» по смыслу остаётся тем же, только растянутым или сжатым.

А вот длины меняются: они умножаются на |k|, периметр тоже масштабируется, а площадь — сильнее, так как относится к двумерной величине. При отрицательном k дополнительно меняется ориентация: фигура получается по другую сторону относительно центра.

11. Площадь и периметр после преобразования

Площадь и периметр после гомотетии ведут себя по-разному — и это одна из самых важных ловушек в задачах.

Периметр связан с длинами, а значит, меняется линейно: в том же масштабе, что и стороны.

Площадь же изменяется не линейно, а по квадрату коэффициента. Поэтому любая ошибка с коэффициентом или с пониманием формулы площади сразу становится заметной.

Ключевая мысль такая: если коэффициент равен 3, то площадь увеличивается в 9 раз. Именно поэтому проверка единиц и аккуратность в вычислениях особенно важны.

Свойство гомотетии формулируется коротко: площадь изменяется в k² раз.

12. Сравнение исходной фигуры и её образа

Когда сравнивают исходную фигуру и её образ при гомотетии, полезно держать в голове «чек-лист».

Сохраняются углы: фигуры остаются похожими. Это означает, что по форме образ не отличается от исходника — меняется только размер.

Длины меняются по коэффициенту: каждый отрезок, который в фигуре отвечает некоторому масштабу, увеличивается или уменьшается в |k| раз.

Площадь изменяется по квадрату коэффициента: она зависит от двух направлений масштаба сразу, поэтому растёт или уменьшается сильнее, чем длины.

Центр остаётся на месте — он неподвижен и связывает все точки исходной фигуры с их образами. Поэтому образ можно «восстановить» от центра: достаточно правильно построить несколько ключевых точек.

13. Как отличить гомотетию от других преобразований

Чтобы отличить гомотетию от других преобразований, нужно смотреть на признаки, которые в ней неизменны.

Первый признак — неподвижный центр. При гомотетии существует точка O, которая остаётся на месте.

Второй признак — коллинеарность: точка и её образ вместе с центром лежат на одной прямой. Если такой прямой «не выходит», значит, это не гомотетия.

Третий признак — пропорциональность расстояний: расстояния от центра до точки и до её образа относятся как k.

Четвёртый — сохранение углов. Гомотетия поддерживает подобие, а значит, величины углов не меняются.

Эти признаки удобны как последовательность проверки: центр найден — лучи совпадают — пропорции выдержаны — углы сохранены. Если все шаги совпали, гомотетия подходит лучше всего.

14. Гомотетия в координатах

Гомотетию удобно записывать и в координатах — так вычисления становятся точными.

Смысл простой: если исходная точка имеет координаты (x, y), то её образ получается умножением каждой координаты на коэффициент k.

Именно поэтому гомотетия «работает» аккуратно с клетками и сеткой: умножение сохраняет прямые и параллельность, а положение относительно центра видно по знакам координат.

Для задач по координатам важно не только вычислить новые координаты, но и понять, что происходит с направлением. Положительный k сохраняет «сторону» относительно начала координат, а отрицательный k меняет её.

Таким образом, координатная запись помогает увидеть сразу и масштаб, и расположение образа: никаких гаданий по рисунку — только формула.

15. Примеры перехода точек в координатах

На координатной плоскости особенно хорошо видно, что знак коэффициента меняет сторону расположения точки относительно начала координат.

Если коэффициент положительный, точка окажется там же по направлению: её координаты увеличиваются или уменьшаются, но «в ту же сторону» от начала координат.

Если коэффициент отрицательный, меняется знак координат — значит, точка переходит в противоположное направление. При этом масштаб задаёт модуль k, а точная позиция определяется формулой.

Координаты изменяются строго по правилу: положительный коэффициент сохраняет направление, отрицательный — меняет его на противоположное.

Для примера используется точка A(2; 3): её образ строится по формуле (x, y) → (kx, ky). Так становится понятно, как гомотетия превращает построение на бумаге в надёжное вычисление.

16. Гомотетия в реальной жизни

Иногда математика кажется далёкой от повседневности, но гомотетия встречается там, где меняют масштаб, сохраняя «характер» формы. Представьте карту: один и тот же город можно показать крупнее или мельче, и очертания улиц остаются похожими. То же самое происходит в макетировании и в игре с перспективой, когда фигурa увеличивается, но не «ломается».

Вторая история — фотокадры и редактирование изображений. Когда снимок увеличивают или уменьшают, геометрия объекта сохраняет пропорции: треугольники остаются треугольниками, окружности — окружностями. В этом легко увидеть идею гомотетии: меняется масштаб, а форма остаётся той же, как если бы фигуру перенесли «на другой размер», сохранив направление и относительное расположение.

Наконец, архитектура и дизайн: эскиз фасада, а потом перенос на чертёж другого масштаба. Здесь важно понимать, что одинаковые по форме детали повторяются в уменьшенном или увеличенном виде. Гомотетия — это математическое объяснение того, как один и тот же замысел превращается в разные форматы, сохраняя узнаваемость.

17. Типичные ошибки при изучении гомотетии

Путь к уверенным задачам начинается с распознавания распространённых ошибок. Первая из них — путать гомотетию с обычным «увеличением на глаз». Масштаб задаётся коэффициентом, и без него легко потерять точность: точки окажутся не на тех лучах, а фигуры не будут подобны.

Вторая ошибка — думать, что при гомотетии всё «просто растёт». На самом деле коэффициент может быть и меньше нуля, что влияет на ориентацию: фигура может оказаться повернутой относительно исходной. Если не учитывать знак, можно сделать правильные вычисления, но получить неверный ответ.

Третья ошибка — игнорировать роль центра гомотетии. У каждой задачи есть ключевая точка, через которую проходит связь между соответствующими точками. Когда центр не найден или его считают лишним, теряется главный «мост» между двумя фигурами.

Четвёртая ошибка — ломать правила при сравнении площадей и длин. При гомотетии линейные размеры меняются в |k| раз, а площади — в k² раз. Если использовать «квадрат» там, где нужен |k|, или наоборот, получаются ответы, которые вроде бы близки, но систематически ошибочны.

18. План решения задач на гомотетию

Чтобы задачи перестали казаться набором разрозненных шагов, удобно идти по единому плану. Он особенно помогает в заданиях на построение, вычисление и сравнение фигур, где нужно одновременно думать и о геометрии, и о масштабе.

Сначала определяется, какие фигуры даны: исходная и та, что должна получиться. Далее выясняется, есть ли центр гомотетии и какой он связан с соответствующими точками. После этого выбираются пары точек и записывается условие по коэффициенту — это помогает построить новые точки и проверить, что они лежат на нужных лучах.

Когда построение выполнено, проводится сравнение размеров: линейные отрезки соотносятся по |k|, площади — по k². На финальном шаге сверяется ориентация и расположение фигур относительно центра. Если хоть один параметр не сходится, значит, ошибка сидит в вычислении коэффициента или в выборе соответствующих точек.

Такой маршрут превращает гомотетию в понятный процесс: от «что дано» к «что должно получиться», затем к вычислениям и проверке.

19. Краткая памятка по свойствам гомотетии

В задачах легко запутаться в деталях, поэтому полезно держать в голове короткую памятку. Её смысл — быстро вспоминать правила, когда нужно выбрать формулу или понять, чего именно от коэффициента ожидать.

Главное свойство гомотетии состоит в том, что форма сохраняется: все углы остаются такими же, а соответствующие стороны пропорциональны. Это именно идея подобия, только в виде преобразования.

Длины меняются в |k| раз: если коэффициент гомотетии равен k, то любой соответствующий отрезок увеличится или уменьшится по модулю k. Площади, наоборот, меняются сильнее: в k² раз. Отсюда важный практический вывод: при вычислении площади нельзя «копировать» правило для длины.

И ещё один пункт — ориентация. При положительном k фигуры сохраняют взаимное «направление» относительно центра, а при отрицательном — меняют ориентацию. Это видно в школьных задачах на подобных треугольниках, когда в ответе важно не только «масштаб», но и как именно расположены соответствующие вершины.

Если помнить эти правила, решения становятся короче: меньше догадок, больше проверки по свойствам.

20. Главный вывод о гомотетии

Гомотетия показывает, как одна и та же фигура может сохранять форму и менять размер. Понимание её свойств помогает уверенно решать задачи на масштаб, координаты и подобие.

Источники

Геометрия. 7 класс: учебник по курсу основной школы (раздел «Подобие фигур. Гомотетия»).

Сборник задач по геометрии для 7–9 классов: задания на подобие и гомотетию.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. Теория и задачи по теме «Гомотетия».

Погорелов А. В. Геометрия: учебное пособие. Разделы о преобразованиях и подобии фигур.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение.

Погорелов А.В. Геометрия. 7–11 классы. М.: Просвещение.

Сборник задач по геометрии для средней школы. М.: Просвещение (разделы о подобии и преобразованиях).

Шабунин М. И. Методика преподавания геометрии в школе. М.: Просвещение.