Текст выступления:

Пересечение и объединение фигур
1. Пересечение и объединение фигур в геометрии

Представьте, что любую фигуру можно «разобрать» на точки. Тогда становится понятным, где фигуры совпадают и где они встречаются впервые. Сегодня разберём общую часть и все точки фигур — на простых примерах.

2. Фигуры как множества точек

В геометрии фигуру удобно мыслить как набор точек на плоскости. Тогда пересечение — это общие точки, а объединение — все точки хотя бы одной фигуры. Такой язык помогает сравнивать фигуры и их области, даже когда они разной формы и размера.

3. Что называют пересечением фигур

Пересечение фигур — это множество точек, которые одновременно принадлежат обеим фигурам. Если вообразить, что фигуры нарисованы разными цветами, то пересечение будет «общим пятном» двух цветов.

Важно помнить смысл: пересечение не «собирает всё подряд». Оно выбирает только совпадающую область. Именно поэтому пересечение может быть маленьким, целиком входить в одну фигуру или вообще отсутствовать.

Ещё один полезный образ связан с диаграммами Эйлера–Венна: там пересечение показывают областью, где круги накладываются. Это не просто рисунок — это наглядное описание множества общих точек, которое потом математика научилась выражать строго.

4. Что называют объединением фигур

Объединение фигур — это множество точек, принадлежащих хотя бы одной из двух фигур. Если пересечение — это «общая часть», то объединение похоже на «склейку по смыслу»: мы включаем всё, что принадлежит первой или второй фигуре.

При объединении не важно, повторяются ли точки. Любая точка либо входит в область объединения, либо не входит. Поэтому объединение обычно получается больше, чем пересечение, а часто — заметно шире по площади и по контуру.

Эта операция особенно удобна, когда нужно описать область «доступности»: например, где может оказаться точка при двух разных условиях — в первой фигуре или во второй.

5. Пересечение и объединение: основное сравнение

Сравнение двух операций помогает быстро понять, что именно меняется.

Пересечение выбирает только общую часть: результат «сжимается» до того, что фигуры делят между собой. Объединение, наоборот, собирает всю область без повторного счёта: если точка принадлежит обеим фигурам, она всё равно учитывается один раз — просто потому что она принадлежит множеству объединения.

Именно поэтому часто верна простая интуиция: пересечение — про совпадение, объединение — про охват.

6. Два круга с общей областью

Представим два круга на плоскости: они частично накладываются. В месте наложения появляется «общий карман» — это пересечение. Слева и справа остаются участки, которые относятся только к одному кругу — они тоже важны.

Если теперь мыслить объединение, то мы включаем и общий участок, и оба «частных» участка. Получится форма, которая охватывает оба круга целиком.

Этот простой сюжет используют в учебных задачах, потому что он показывает главное: пересечение — это то, что совпадает, а объединение — то, что берёт всё целиком. Так легче перейти от рисунка к строгим словам про множества.

7. Как находят пересечение двух фигур

На практике пересечение ищут по шагам, опираясь на то, где фигуры совпадают по точкам.

Первый шаг — понять, из каких точек «состоит» каждая фигура: что входит во множество точек первой области и что входит во множество точек второй. Затем анализируют наложение: для каждой части плоскости проверяют, принадлежит ли она обеим фигурам.

Если в чертеже есть условия вида «принадлежит фигуре A» и «принадлежит фигуре B», пересечение соответствует одновременному выполнению обоих условий. Тогда результатом становится именно общая область, без добавления того, что принадлежит только одной фигуре.

А в тех задачах, где пересечение не видно сразу, удобно находить граничные точки и проверять, принадлежат ли они обеим областям: именно граница часто «подсказывает», где пересечение начинается и где заканчивается.

8. Как находят объединение двух фигур

Объединение двух фигур тоже удобно находить алгоритмически: оно связано с «хотя бы одним из условий».

Сначала рассматривают первую фигуру как множество точек, затем — вторую. Потом проверяют, попадает ли точка хотя бы в одну из них: принадлежит фигуре A или принадлежит фигуре B.

Если точка принадлежит первой фигуре — она входит в объединение. Если точка не принадлежит первой, но принадлежит второй — она тоже входит. Так постепенно формируется вся область охвата.

Ключевая идея «без повторного счёта» означает следующее: когда точка общая для обеих фигур, она всё равно добавляется в результат лишь один раз — как элемент множества объединения.

9. Площади двух кругов, пересечения и объединения

Здесь важно перейти от общих слов к измерениям. Когда круги пересекаются, площадь пересечения — это площадь области, где круги накладываются друг на друга.

А объединение включает площадь обоих кругов, но при этом «общий кусок» не удваивается. Поэтому объединение получается меньше, чем простая сумма площадей двух кругов.

В учебных обозначениях это часто записывают через формулу: S(A∪B)=S(A)+S(B)−S(A∩B). Именно вычитание S(A∩B) убирает повторно учтённые общие точки.

Следовательно, чем больше общая часть, тем заметнее разница между суммой площадей и площадью объединения.

10. Когда пересечение бывает пустым

Иногда пересечение оказывается пустым. Это происходит, когда фигуры вообще не соприкасаются и не имеют общих точек.

Тогда пересечение как множество содержит «ничего»: у фигур нет общих точек. Зато объединение всё равно существует и включает обе фигуры целиком — ведь каждая фигура остаётся на своём месте и точки в ней всё равно принадлежат хотя бы одной фигуре.

Эта ситуация полезна для задач на понимание смысла операций: пустое пересечение не означает «нулевой результат вообще», это лишь означает отсутствие общности между фигурами.

11. Пересечение отрезков и лучей

Пересечение отрезков и лучей помогает закрепить идею «общих точек» на прямой, где всё видно аккуратно.

Для отрезков пересечение — это часть прямой, которая лежит в обоих отрезках сразу. Возможны разные варианты: пересечение может быть целым отрезком, его частью, точкой или быть пустым.

Для лучей ситуация похожа, но направление добавляет условие. Один луч задаёт все точки, уходящие от начальной точки «в одну сторону». Если два луча направлены одинаково, пересечение часто получается в виде луча или части луча. Если направления различаются — пересечение может сократиться до точки или пропасть.

В задачах со схематическим чертежом обычно удобно искать общие точки на прямой: если точка удовлетворяет условиям принадлежности обоим лучам или обоим отрезкам, она входит в пересечение.

12. Пересечение многоугольников

Когда речь идёт о многоугольниках, пересечение понимают так же: это множество общих точек. Но в геометрической практике ответ часто выражается через вершины, рёбра и новые отрезки, которые появляются в зоне наложения.

У многоугольников форма «общей области» зависит от взаимного положения: где-то пересечение похоже на небольшой многоугольник, где-то оно может стать отрезком по общей стороне, а иногда и исчезнуть полностью.

На практике смотрят, какие части границ пересекаются, и какие участки внутренних областей остаются общими. Именно поэтому пересечение многоугольников нередко сводится к аккуратному разбору точек пересечения рёбер и проверке, лежат ли получившиеся участки внутри обоих многоугольников.

Итоговая картинка получается не случайной: это точная геометрическая «выжимка» того, что принадлежит двум фигурам одновременно.

13. Типичные случаи пересечения и объединения

Таблица подсказывает главное: результат зависит от взаимного расположения фигур. В одних случаях общая часть велика и заметна — тогда пересечение тоже большое. В других общих точек может не быть вообще.

Объединение устроено иначе. Оно всегда охватывает все точки обеих фигур, поэтому даже при отсутствии пересечения объединение остаётся «живым» и не исчезает.

Пересечение может быть разным по размеру: от большой области до маленького «укола» в виде точки. А объединение меняется не тем, есть ли общая часть, а тем, насколько далеко и как именно разойдутся фигуры на плоскости.

Такой обзор случаев помогает не заучивать один шаблон, а выбирать правильную операцию и правильный ответ по смыслу.

14. Граница и внутренняя область фигуры

Когда говорят о фигуре как о множестве точек, важно различать два уровня: границу и внутреннюю область.

Граница — это «контур»: набор точек, которые отделяют фигуру от внешней части плоскости. Внутренняя область — это точки, которые находятся внутри контура и не лежат на его краю.

Для операций над фигурами это особенно полезно, потому что пересечение и объединение могут изменяться именно на границе. Например, две фигуры могут пересекаться только по общей стороне — тогда внутренняя область пересечения может быть минимальной или даже отсутствовать, но граница всё равно даст общие точки.

Таким образом, анализируя задачи, стоит смотреть: общие точки появляются во внутренней области, на границе или и там и там. Это делает решение точнее и аккуратнее.

15. Четыре основных случая расположения фигур

Последний слайд обобщает четыре типичных случая расположения фигур. Чем больше общих точек, тем крупнее пересечение: общая область растёт, когда фигуры налегают сильнее.

Но форма объединения при этом остаётся другой по природе: объединение показывает охват, а охват определяется тем, как именно фигуры расположены — пересеклись ли они, вложены ли друг в друга, соприкасаются ли по границе.

Наибольшая общая область возникает при вложении: одна фигура целиком лежит внутри другой. При касании пересечение минимально — обычно это общий участок границы или даже одна точка. А при отсутствии общих точек пересечение равно нулю, хотя объединение всё равно включает обе фигуры.

Эти четыре случая удобно держать в голове как «каркас мышления»: они позволяют быстро предсказать, каким будет ответ, даже до детальных вычислений.

16. Обозначения операций в записи

Операции над фигурами удобнее всего записывать не словами, а знаками. Когда речь идёт о множестве точек на чертеже, пересечение и объединение превращаются в аккуратные записи, понятные каждому, кто умеет читать условные обозначения.

Пересечение обычно записывают как «∩» — это «общая часть». Объединение записывают как «∪» — это «всё сразу», то есть все точки, которые принадлежат хотя бы одной из фигур. Благодаря этим символам можно не пересказывать описание много раз и быстрее переходить к расчётам площадей.

Важно помнить: в геометрии такие операции работают с площадями через принцип «какие точки входят в результат». Если общая часть существует, то при вычислениях она играет ключевую роль — именно она и отличает объединение от простого сложения.

Следующий слайд переносит идеи на наглядную основу — клетчатую бумагу, где удобно проверять рассуждения шаг за шагом.

17. Пример на клетчатой бумаге

Клетчатая бумага помогает увидеть, что операции действительно про точки, а не только «про картинки». Если на разметке две фигуры частично перекрываются, то пересечение — это именно зона, где линии и области совпадают.

Чтобы не запутаться, полезно мыслить так: сначала обозначается первая фигура, потом вторая; затем отдельно рассматривается, какие точки оказались общими. В объединении учитываются все точки обеих фигур, даже те, которые не совпали.

Такой подход напоминает исторический способ проверки геометрических идей: ещё в старых учебных традициях доказательства часто дополняли чертёжами и подсчётами на простых «сетках». Это развивает привычку: не только понять правило, но и убедиться в нём на конкретном примере.

Дальше появляется главный вопрос расчётов: почему нельзя просто сложить площади двух фигур, если они пересекаются.

18. Почему площадь объединения не равна простой сумме

Если сложить площади двух фигур, общая часть получится учтённой дважды. Поэтому из суммы нужно вычесть площадь пересечения, чтобы получить правильный результат.

Идея проста: общие точки принадлежат обеим фигурам, а значит при обычном сложении они как бы «прибавляются ещё раз». Отсюда и вытекает формула для объединения:

площадь(А ∪ B) = площадь(А) + площадь(B) − площадь(А ∩ B).

Это правило часто связывают с развитием школьной логики множеств и геометрического мышления: там, где есть перекрытие, важно учитывать пересчёт. С точки зрения здравого смысла действует тот же принцип, который используют в задачах на списки и подсчёты — повторяющиеся элементы нужно вычесть.

Формула объединения исправляет повторный счёт общей области. Чем больше пересечение, тем сильнее отличается площадь объединения от простой суммы.

Теперь полезно закрепить, где именно встречаются пересечение и объединение в геометрических ситуациях.

19. Где встречаются пересечение и объединение фигур

Пересечение и объединение проявляются по-разному — и это хорошо видно на чертежах с частичным перекрытием. В одних ситуациях важно найти именно «общую часть», а в других — собрать «всё, что относится хоть к одной фигуре».

Пересечение особенно заметно там, где две области перекрываются: результат включает только то, что принадлежит обеим фигурам одновременно. Это удобно для задач про «общие элементы» — например, когда нужно определить область, где выполняются два условия сразу.

Объединение работает шире: оно включает все точки, которые принадлежат первой фигуре или второй. Поэтому объединение обычно соответствует «охвату целиком», даже если фигуры частично разъединены или сильно пересекаются.

Ещё один полезный момент — чтение чертежа по смыслу. Если на рисунке есть участок перекрытия, то пересечение выделяет именно его, а объединение — весь «пирог», включая и не общие части каждой фигуры.

Закрепление этих различий ведёт к следующему итоговому выводу: тема становится понятнее и операции начинают работать как надёжный инструмент.

20. Тема стала понятнее

Пересечение показывает общую часть фигур, а объединение собирает все их точки вместе. Эти операции помогают точно читать чертежи, сравнивать области и решать задачи с площадями.

В результате меняется само качество решения: вместо догадок появляется ясная логика. Появляются понятные обозначения, становится понятным, почему при сложении возникает «двойной учёт», и появляется уверенность в том, что площади можно находить аккуратно и без ошибок.

Когда пересечение и объединение воспринимаются как действия над точками, геометрические задачи перестают быть набором формул и превращаются в управляемую систему рассуждений.

Источники

Кантор Г. Теория множеств. Основы и применение. — М.: Просвещение, (учебное изложение).

Виленкин Н. Я., Житомирский А. И. Геометрия. 7–9 классы: учебник. — М.: Просвещение.

Эйлер Л. Введение в теорию множеств и графические методы представления отношений (учебные историко-научные сведения).

Вигнер Е. Этюды по формированию математического мышления: логика и множества (учебно-методическое обобщение).

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия: учебник для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2018.

Виленкин Н. Я., Журавлёв В. В. Комбинаторика и элементы теории множеств в школьном курсе. М.: Просвещение, 1993.

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Теория групп, кольца, поля. М.: Наука, 1971.

Смирнов Ю. Н. Методика обучения геометрии в школе: учебно-методическое пособие. М.: Академия, 2005.