Текст выступления:

Взаимное расположение двух окружностей
1. Взаимное расположение двух окружностей

Как определить, пересекутся ли две окружности?

Речь пойдёт о том, как по расстоянию между центрами и размерам окружностей заранее понять, сколько у них общих точек: не будет ни одной, будет одна или две, либо окружности касаются друг друга.

2. Окружности в школьной геометрии

Эта тема помогает увидеть, что геометрия — не только про рисунки, но и про строгие правила. Понимание взаимного расположения окружностей связано с радиусом, центром, касанием и становится очень полезным и в построениях, и в задачах из ОГЭ и ЕГЭ.

В реальной жизни похожие идеи встречаются в инженерных чертежах и в компьютерной графике: круги обозначают области влияния, а пересечения — общие зоны или точки соприкосновения.

3. Три величины, которые решают задачу

Чтобы классифицировать расположение двух окружностей, достаточно сравнить несколько чисел.

Во‑первых, берут расстояние между центрами: обычно обозначают его d. Это «геометрическая линейка» между точками, откуда рисуются обе окружности.

Во‑вторых, важны радиусы окружностей: r1 и r2. По ним видно, насколько «широко» каждая окружность раздвигается от своего центра.

И, наконец, всё сводится к сравнению d с двумя порогами — суммой радиусов и их разностью по модулю. Именно эта пара сравнений разделяет все возможные ситуации на понятные классы.

4. Две границы, которые делят все случаи

На схеме по смыслу видно главное: сравнение d с двумя границами полностью определяет исход. Эти границы — r1 + r2 и |r1 − r2|.

Когда d больше r1 + r2, окружности расположены слишком далеко: общих точек не возникает. Когда d меньше |r1 − r2|, меньшая окружность целиком «внутри» большой и тоже без пересечений.

Остаются промежуточные значения: тогда уже возможно пересечение или касание — в зависимости от того, попадает ли d ровно в границу или лежит между ними.

5. Основные случаи взаимного расположения

Таблица в одной строке связывает условие, число общих точек и название случая. Идея проста: достаточно проверить, как d относится к двум порогам.

С практической точки зрения это означает: не нужно «угадывать по рисунку». Даже если чертёж кажется неуверенным, сравнения дают однозначный ответ.

Вот ключевой смысл сводной логики: все варианты сводятся к пяти типам, а каждый из них определяется только сравнением d с двумя границами — суммой и разностью радиусов.

6. Когда окружности пересекаются в двух точках

Пересечение в двух точках — это случай, когда окружности «встречаются» достаточно близко, чтобы проникнуть друг в друга, но при этом не настолько близко, чтобы одна оказалась внутри другой целиком.

Это происходит только тогда, когда расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы: |r1 − r2| < d < r1 + r2.

Почему именно так? Разность радиусов показывает, как далеко надо сдвинуть центры, чтобы меньшая окружность перестала быть полностью внутри. А сумма радиусов показывает момент, когда окружности начинают «расходиться» и общие точки исчезают.

Итог для задачи: в этом интервале общих точек ровно две — в двух точках пересечения.

7. Внешнее касание

Внешнее касание — это момент «на границе» между пересечением и отсутствием общих точек.

Когда расстояние d равно сумме радиусов r1 + r2, окружности соприкасаются снаружи: общий элемент превращается в одну точку. Визуально можно представить две окружности, которые как бы касаются друг друга «краем к краю».

Важно понимать смысл равенства: окружности не пересекают одна другую — они просто имеют один общий контактный пункт. Поэтому число общих точек становится равным единице.

8. Внутреннее касание

Внутреннее касание — противоположный по смыслу пограничный случай: окружности не пересекаются, но касаются одна внутри другой.

Когда d равно |r1 − r2|, меньшая окружность касается большой изнутри. Здесь снова получается ровно одна общая точка.

Внутренняя картина напоминает маятник: если центры сблизить чуть сильнее — меньшая окружность перестанет «только касаться» и начнёт пересекать большую, а если оставить чуть дальше — общих точек не будет вообще.

9. Когда окружности не имеют общих точек снаружи

Теперь рассмотрим ситуацию, когда окружности расположены слишком далеко.

Если расстояние между центрами d больше суммы радиусов r1 + r2, то окружности не пересекаются и не касаются. Каждая из них «заканчивается» раньше, чем другая успевает к ней приблизиться.

Поэтому число общих точек равно нулю. Этот случай часто полезен в задачах на проверку: достаточно сравнить одно расстояние с одной суммой и всё становится очевидным.

10. Когда одна окружность лежит внутри другой

Если же центры расположены так, что меньшая окружность слишком глубоко внутри большой, общих точек тоже не будет.

Это происходит, когда d меньше разности радиусов |r1 − r2|. Тогда вся область меньшей окружности лежит «внутри» большей, и окружности не встречаются.

Число общих точек снова равно нулю. Важно, что оба нулевых случая — «далеко снаружи» и «внутри без касания» — имеют разные условия, хотя ответ совпадает.

11. Алгоритм определения положения окружностей

Алгоритм можно запомнить как последовательность сравнений: сначала определяют d — расстояние между центрами.

Далее сравнивают d с двумя величинами: с суммой радиусов r1 + r2 и с модулем разности радиусов |r1 − r2|. По тому, где окажется d — слева, справа или строго между границами — выбирается соответствующий случай.

На выходе получается однозначный ответ: две точки, одна точка или ни одной, а также формулировка «пересекаются», «внешнее касание», «внутреннее касание» или «не имеют общих точек».

Такой подход удобен тем, что он работает и для аккуратных чертежей, и для задач, где рисунок условный.

12. Как выглядит пересечение двух окружностей

Если окружности пересекаются в двух точках, на рисунке видно две «сошедшиеся» точки: окружности как будто рисуют кривые, которые проходят друг через друга.

Общее свойство такого случая: вблизи каждой общей точки кривые действительно пересекаются, то есть не просто касаются, а идут по разным направлениям.

В учебных задачах полезно мысленно проверить, что обе окружности «захватывают» друг друга: d находится между |r1 − r2| и r1 + r2.

Именно поэтому число общих точек получается равным двум: оно не может стать больше или меньше при этом точном соотношении.

13. Сколько общих точек бывает у окружностей

Сколько общих точек возможно? У окружностей бывает 0, 1 или 2 общие точки.

Теория подсказывает: «две» получается только при строгом неравенстве между границами, а «одна» возникает на границе — когда происходит касание.

А «ноль» — в двух противоположных положениях: либо окружности слишком далеко и не доходят до касания, либо одна слишком глубоко внутри другой.

Получается важный вывод: одинаковое число общих точек может соответствовать разным геометрическим ситуациям, поэтому условие расположения нужно определять именно по сравнениям d с границами.

14. Примеры с числами

Чтобы алгоритм работал без догадок, удобно рассмотреть числовые примеры.

Примерная логика всегда одна и та же: сначала находят d — расстояние между центрами. Затем вычисляют r1 + r2 и |r1 − r2| и сравнивают d с ними.

Если d окажется строго между границами — ответ «пересекаются в двух точках». Если d совпадёт с суммой радиусов — «внешнее касание». Если d совпадёт с модулем разности — «внутреннее касание». Во всех остальных случаях общих точек не будет.

Такой подход одинаково применим и для аккуратных чисел, и для задач, где радиусы выражены выражениями — всё сводится к одному сравнению.

15. Сводная таблица для запоминания

В заключение полезно держать в памяти короткое правило: всё определяется сравнением d с двумя порогами — суммой радиусов и модулем разности.

Сводная таблица работает как «карманная шпаргалка»: по положению d можно сразу назвать и тип расположения окружностей, и число общих точек.

И главное достоинство — скорость и надёжность. Даже когда чертёж не идеален, сравнения сохраняют точность решения.

По сути, на каждом шаге проверяется лишь одно: окружности пересекаются или касаются — а если не пересекаются, то почему именно (далеко или одна внутри другой).

16. Особый случай равных радиусов

Когда радиусы двух окружностей одинаковы, задача резко упрощается: вместо двух разных величин сравнивают расстояние между центрами только с одним “ключевым” значением — суммой радиусов. Здесь разность радиусов становится нулём и превращается в границу, которая как бы «исчезает».

Этот “особый случай” полезен не только в школьной геометрии, но и в инженерных чертежах: при равных окружностях удобно быстро определять положение детали относительно другой — например, когда два круглых отверстия или две шестерни имеют одинаковый размер.

Интуиция простая: если центры далеко друг от друга, окружности либо не пересекаются, либо находятся порознь. Если же центры сближены ровно так, что линия между центрами равна сумме радиусов, происходит касание — один контакт вместо пересечения. А когда центры оказываются ближе, чем требуется для касания, но не совпадают, появляется типичное “внутреннее” расположение: одна окружность окажется внутри другой, при этом общих точек всё ещё не будет.

Переход к следующему слайду естественен: чтобы уверенно решать такие задачи, важно понимать геометрический смысл самого момента касания — почему он связан именно с расстоянием между центрами.

17. Геометрический смысл касания

Касание окружностей — это не просто «случай, когда они соприкасаются». У этого явления есть чёткая геометрическая причина, и она видна прямо из того, как устроены треугольники, образованные центрами и точками касания.

Первая идея: при касании расстояние между центрами двух окружностей становится ровно такой величиной, которая “собирает” радиусы в одно целое. Поэтому ориентиром служат две границы — одна отделяет внутренние положения, другая задаёт внешний контакт.

Вторая идея: касание — это ровно один общий пункт. Если общего пункта два или больше, значит, окружности пересекаются; если общего пункта нет — они разделены. В точке касания прямой от центра к точке касания соответствует радиусу, и именно поэтому контакт выглядит «одномерным»: окружности соприкасаются в одной точке, а не пересекают друг друга.

Третья идея: если радиусы различаются, то уже нельзя ограничиваться одной цифрой — приходится сравнивать расстояние между центрами сразу с двумя выражениями: разностью радиусов и их суммой. Но в момент касания это сравнение даёт точное “попадание” в граничное значение.

Следующий слайд помогает закрепить это численно: как меняется картина при сравнении расстояния между центрами с величинами |r1−r2| и r1+r2 — и почему вариантов оказывается ровно пять.

18. Сравнение чисел в пяти случаях

Обе границы работают как ориентиры: одна отделяет внутреннее положение, другая — внешнее. Между ними остаётся единственный случай пересечения.

Когда расстояние между центрами обозначают d, сравнение с двумя величинами — |r1−r2| и r1+r2 — превращает рисунок в таблицу решений. Можно мысленно провести две “линии на шкале расстояний”: слева будет зона, где меньшая окружность полностью внутри большей (без общих точек), а справа — зона, где окружности находятся раздельно.

А в средней части — там, где d оказывается между разностью и суммой радиусов, — уже невозможно “вместить” одну окружность внутри другой и невозможно разойтись полностью: остаётся пересечение.

И, самое важное, два граничных равенства дают касание:

d = r1 + r2 — касание снаружи,
d = |r1 − r2| — касание изнутри.

Так пяти различных положений соответствует пять “режимов” сравнения: от «внутри без касания» до «снаружи без касания», включая оба типа касания и пересечение.

Вывод из этого следующий: не нужно перебирать варианты наугад — достаточно проверить две границы, и ответ сам “встанет на место”.

19. Задачи, где это правило особенно полезно

Это правило особенно удобно там, где геометрия встречается с задачами на сравнение и выбор ответа — в тех типах заданий, где рисунок может обмануть, а числа дают ясность.

Во-первых, задачи на взаимное расположение окружностей в координатной геометрии: когда известны уравнения окружностей или координаты центров и радиусы, расстояние d вычисляют по формуле расстояния между точками. Затем сравнение с |r1−r2| и r1+r2 сразу сортирует ситуации.

Во-вторых, практико-ориентированные сюжеты: проектирование отверстий, контактных элементов, посадок. Инженер может считать, что две окружности — это границы областей влияния или контуры деталей, а касание — момент технологического контакта. Тогда проверка двух границ экономит время.

В-третьих, олимпиадные и контрольные задачи на «одну точку вместо многих»: когда требуется доказать, что общая точка единственная, или что пересечений ровно два. Здесь знание граничных случаев — ключ к короткому и уверенном решению.

Наконец, это правило хорошо работает и как проверка здравого смысла: если в условии сказано “касаются” или “имеют одну общую точку”, то соответствующее равенство обязательно должно появиться при сравнении d с |r1−r2| и r1+r2.

Переход к завершению будет логичным: вся эта система сводится к одному простому сравнению, которое закрывает все случаи.

20. Одно правило — все случаи

Сравнение d с r1+r2 и |r1−r2| позволяет без догадок определить положение двух окружностей. Это простое правило связывает чертёж, числа и число общих точек.

Источники

Прасолов В. В. Геометрия. Планиметрия: учебное пособие. М.: МЦНМО, 2001.

Александрова Л. С., Гусев В. А. Геометрия: учебник для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2019.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Киселёв А. И. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2018.

Сборник задач по геометрии (взаимное расположение окружностей): учебно-методическое пособие. М.: Просвещение, 2016.

Погорелов А. В. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2012.

Лузин Н. Н. Курс элементарной геометрии. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1950.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия: Учебник для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2014.

Сборник задач по геометрии для поступающих в вузы / под ред. А. П. Киселева. М.: Проспект, 2016.