Текст выступления:

Взаимное расположение двух окружностей
1. Взаимное расположение двух окружностей

Как понять, сколько общих точек будут иметь две окружности?

2. Окружности вокруг нас и задачи

Колёса, часы, мишени, круги на воде — всё это визуально напоминает окружности. В геометрии же важно научиться читать рисунок “по правилам”: сравнивать расстояние между центрами и радиусы, чтобы заранее предсказать, будет ли у двух окружностей 0, 1 или 2 общих точки. Стоит заметить, что ещё в древности геометрию использовали именно как язык для описания формы и движения: от практических построений до теоретических доказательств.

3. Основные элементы двух окружностей

Сначала фиксируем, что именно сравниваем.

Центр и радиус. У каждой окружности есть центр и радиус: радиус определяет, насколько далеко точки на окружности от центра. Поэтому, если два радиуса одинаковы или различаются, меняется “размах” каждой окружности.

Расстояние между центрами. Обозначим его d. Это ключевая величина: если центры далеко друг от друга, окружности могут не встретиться; если близко — возможны пересечения. Само по себе d не отвечает за всё, но задаёт стартовую позицию.

Возможные общие точки. Общие точки — это пересечения окружностей или касания. Иногда общих точек нет, иногда одна (когда окружности касаются), а иногда две (когда они пересекаются). В результате задача сводится к сравнению величин и аккуратному разбору случаев.

4. Окружности, которые не пересекаются

Есть случаи, когда окружности вообще не имеют общих точек.

Раздельное положение. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, окружности “слишком далеко” друг от друга: ни внутренние, ни внешние части не доходят до встреча.

Внутри без касания. Если одна окружность лежит внутри другой, но они не соприкасаются, общих точек тоже нет. Тут важно, что меньшая окружность “не дотягивает” до границы большей.

Почему помогает сравнение d с радиусами. Граница случаев как раз появляется при достижении “ровно касания”: именно там общие точки появляются, исчезают или меняют число. Поэтому не нужно измерять по чертежу на глаз — достаточно логически сравнить расстояния.

5. Внешнее касание двух окружностей

Теперь рассмотрим самый “чёткий” момент, когда общая точка появляется впервые.

Одна общая точка снаружи. Если окружности касаются внешним образом, они имеют ровно одну общую точку: в этой точке соприкасаются их границы.

Условие через сумму радиусов. Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов: d = R + r. Тогда каждая окружность своим “лучом” от центра до общей точки ровно достаёт до второй.

Геометрический смысл касания. Касание означает, что общая точка лежит на обеих окружностях, но пересечения “крест-накрест” нет: окружности не расходятся после точки и не заходят друг в друга дальше.

6. Связь расстояния между центрами и числа общих точек

Границы случаев удобно запомнить как переходы между тремя режимами: раздельное положение, касание и пересечение. Условие выбирается так, чтобы оно работало одинаково для любых радиусов — и больших, и маленьких.

Когда d меняется, число общих точек тоже меняется только в “критические моменты”: при точном равенстве. Поэтому вместо попытки угадать по рисунку разумнее сравнить величины d с двумя ключевыми выражениями: суммой радиусов и разностью радиусов.

Итог анализа такой: число общих точек определяется двумя равенствами — при d = R + r и при d = |R − r|. В этих точках окружности касаются и появляется ровно одна общая точка. Во всех остальных случаях (между границами и за их пределами) число общих точек меняется согласно раздельному или пересекающемуся положению.

7. Все основные случаи взаимного расположения

Полезно собрать всё в “единую картину”: всего два сравнения дают возможность мгновенно понять и положение окружностей, и число общих точек.

Логика проста. Сравнение d с суммой радиусов R + r отделяет ситуации “слишком далеко” от ситуации “внешнее касание”. А сравнение d с |R − r| отделяет “внутри без касания” от “внутреннего касания”.

Главная мысль: два равенства отвечают касанию, строгое неравенство между границами ведёт к пересечению (две общие точки), а слишком большие или слишком малые расстояния приводят к отсутствию общих точек. Именно так геометрия превращается из “рисунка” в “проверку по числам” — шаг за шагом и без угадывания.

8. Пересечение двух окружностей

Пересечение — это когда окружности имеют две общие точки. На рисунке обычно это выглядит как пересечение “крест-накрест”: границы заходят друг за друга.

Две общие точки. В этой ситуации окружности одновременно и частично перекрываются, и не совпадают. Точки пересечения находятся по обе стороны линии, соединяющей центры.

Как получить этот случай сравнением. Он возникает тогда, когда расстояние между центрами достаточно велико, чтобы окружности не были раздельными, но не настолько велико, чтобы они “разошлись” совсем. Математически это означает, что d находится между критическими границами.

Интуиция для запоминания. Если d слишком маленькое, одна окружность окажется внутри другой без касания. Если слишком большое — они вообще не встретятся. Значит, между этими “полюсами” и находится режим пересечения.

9. Внутреннее касание и вложенность

Теперь сместим внимание внутрь.

Внутреннее касание. Когда одна окружность касается другой изнутри, появляется ровно одна общая точка. При этом окружности касаются так, что большая окружность “как бы продолжает” границу в точке касания.

Условие через разность радиусов. Эта ситуация соответствует равенству d = |R − r|. Разность радиусов показывает, “насколько глубоко” меньшая окружность могла бы зайти внутрь большей, не касаясь.

Вложенность без касания. Если d меньше |R − r|, меньшая окружность полностью помещается внутри большей, и границы не встречаются. Отсюда и ноль общих точек. Так один короткий расчёт превращается в точный вывод о рисунке.

10. Как определить взаимное расположение окружностей

Чтобы каждый раз не держать в голове все случаи, удобно мыслить алгоритмом: шаг за шагом сравнивать d с двумя границами.

Сначала проверяется расстояние между центрами и сравнивается с суммой радиусов R + r. Если d больше R + r — окружности раздельны, общих точек нет.

Если d равно R + r — это внешнее касание: одна общая точка.

Если d меньше R + r — значит, окружности приближаются друг к другу так, что возможны пересечение или вложенность. Далее проверяется вторая граница через |R − r|.

Если d равно |R − r| — внутреннее касание, одна общая точка. Если d больше |R − r| — окружности пересекаются (две общие точки). И наконец, если d меньше |R − r| — меньшая окружность вложена в большую без касания, общих точек нет.

11. Совпадающие окружности

Иногда окружности могут совпадать: одна окружность полностью совпадает с другой, и их границы совпадают по всем точкам.

Одинаковые центры и одинаковые радиусы. Если центры лежат в одной точке, а радиусы равны, то каждая точка одной окружности является точкой другой.

Почему это отдельный сюжет. Совпадение отличается от касания и пересечения: там общих точек конечное число (0, 1 или 2), а при совпадении общих точек бесконечно много — фактически все точки окружности.

Педагогическая польза. Рассмотрение совпадения помогает не путать “равенство границ” с “внутренним или внешним касанием”. Алгоритм сравнения d учитывает эту ситуацию через то, что d будет равно нулю, а радиусы должны совпасть, чтобы картины совпали полностью.

12. Линия центров и общая хорда

Перейдём от условий “сколько точек” к тому, как геометрия объясняет структуру пересечения.

Линия центров — это прямая, соединяющая центры окружностей. Она помогает увидеть симметрию: точки пересечения обычно располагаются симметрично относительно этой прямой.

Когда окружности пересекаются, через две общие точки можно провести прямую — это общая хорда. Она показывает, где именно “пересекаются” окружности, и даёт рисунку дополнительную ясность.

Важно и то, что эта хорда перпендикулярна линии центров в характерной конфигурации пересечения: так геометрия “раскладывает” задачу на взаимосвязанные части — расстояния и прямые, а не только на визуальное впечатление.

13. Как находят расстояние между центрами по координатам

Практический шаг — научиться находить d, когда центры заданы координатами.

Разность координат по осям. Пусть центры имеют координаты (x1, y1) и (x2, y2). Тогда по оси x и по оси y есть свои разности.

Теорема Пифагора в координатах. Длина отрезка между центрами вычисляется как корень из суммы квадратов разностей по координатам. Это и есть d — расстояние между центрами.

Почему это важно для всей темы. Как только d найден, остаётся только сравнить его с R + r и |R − r|. То есть “координатная геометрия” превращает задачу на окружности в задачу на сравнение чисел — а дальше работает уже знакомая логика разборов.

14. Проверка существования чертежа по данным задачи

В реальных задачах иногда просят не только определить расположение, но и выяснить, возможен ли такой чертёж вообще.

Сравнение с граничной величиной быстро отвечает на этот вопрос: если расстояние d не совпадает нужным образом с критерием касания, соответствующий тип расположения невозможен. И тогда задача превращается из “рисования” в “проверку существования”.

Например, рассмотренный пример подсказывает: при конкретных радиусах сумма радиусов определяет границу внешнего касания, а разность радиусов — границу внутреннего. Если d попадает в нужную сторону относительно этих границ, окружности либо встречаются, либо касаются, либо не имеют общих точек.

— это сумма радиусов в примере R = 5 и r = 3, поэтому при d = 9 общих точек нет, при d = 8 получается внешнее касание.

15. Числовые примеры для тренировки

Закрепление лучше всего работает через короткие числовые разборы.

Идея тренировки такая: одни и те же радиусы могут давать разные случаи в зависимости от расстояния между центрами. Ключевые границы остаются теми же — R + r и |R − r|, меняется лишь относительное положение d.

Поэтому в упражнениях разумно действовать так: сначала выписать обе границы, затем сравнить с ними d и сразу определить тип взаимного расположения. Такой подход экономит время и делает решение устойчивым: даже если рисунок схематичен или “не того масштаба”, логика сравнения остаётся правильной.

Именно так геометрия переходит от интуиции к строгому выводу — шаг за шагом, без гаданий.

16. Симметрия в случае пересечения

Когда две окружности пересекаются, внутри фигуры появляется особая «ось смысла» — симметрия. Часто именно она помогает не тонуть в вычислениях: сначала замечают, что точки пересечения можно рассматривать как пары, связанные отражением.

Представим центры окружностей и точки, где они встречаются. Эти точки обладают одинаковыми расстояниями до соответствующих центров, а значит, если провести прямую через центры, то относительно неё структура пересечения становится понятнее. Такой подход похож на то, как в музыке узнают повторяющийся мотив: распознаётся закономерность, и дальше решать становится легче.

Симметрия также подсказывает, как проверять ответы. Если решение получило два пересечения, то они обычно «расположены по разные стороны» линии центров, и их можно мысленно связать отражением. В задачах это превращается в быструю проверку: ответ должен выглядеть геометрически согласованно.

Наконец, симметрия помогает выбрать метод. Если в задаче фигурируют пересечения, то разумно сначала уточнить, какая именно конфигурация: две точки, одна точка или отсутствие пересечений. Уже после этого имеет смысл переходить к формулам и вычислениям — тогда работа идёт по кратчайшему пути.

17. Типичные ошибки в задачах

Самые частые ошибки в задачах про взаимное расположение окружностей обычно связаны не с «плохими формулами», а с невнимательностью к условиям и к тому, что именно требуется определить.

Первая ошибка — начинать считать, не проверив, в какой ситуации находятся окружности. Например, попытки применять схему для «двух точек пересечения», хотя по данным выходит касание или даже отсутствие общих точек. В итоге получаются красивые, но неправильные ответы.

Вторая ошибка — перепутать случаи, где количество общих точек меняется скачком. Для окружностей это действительно происходит резко: от нуля к одной точке, а затем к двум. Путаница в промежутках между центрами и радиусами чаще всего ломает решение.

Третья ошибка — неверно трактовать совпадение как «просто частный случай пересечения». Когда окружности совпадают, у них бесконечно много общих точек, и это требует отдельного взгляда на задачу. Многие пропускают этот момент и подгоняют результат под ограниченные случаи.

И четвёртая ошибка — отсутствует проверка ответа на геометрический смысл. Хорошая привычка — после расчётов мысленно прикинуть: «могут ли окружности так располагаться физически?» Эта проверка занимает секунды, но спасает от большинства типичных промахов.

18. Сколько общих точек бывает у двух окружностей

Здесь важно удержать простую мысль: одна и та же пара окружностей может дать разные ответы — в зависимости от того, как соотносятся расстояние между центрами и радиусы. Поэтому сначала всегда уточняют условия, а уже потом делают вывод.

У двух окружностей количество общих точек может быть разным. В самых привычных задачах встречаются четыре сценария: полное отсутствие общих точек, одно касание, два пересечения и особый случай полного совпадения.

Когда окружности не доходят друг до друга или находятся «слишком далеко», общих точек нет. Если же они касаются — появляется ровно одна общая точка: в этот момент одна окружность «поддерживает» другую. Если окружности пересекаются «через центр», то обычно получается две общие точки — две точки входа и выхода.

А совпадение — отдельная история: тогда общих точек бесконечно много, потому что все точки одной окружности являются точками другой.

По наблюдениям в решениях чаще всего встречаются случаи с нулём и одной общей точкой, тогда как совпадение обычно выделяется сразу и отдельно. Это удобно: уже на этапе чтения условия видно, не нужно ли искать именно «особый случай», а не продолжать по стандартной схеме.

Итог: карта сценариев в голове помогает быстро понять, что искать в задаче, прежде чем подставлять числа.

19. Как быстро решать задачи по теме

Чтобы решать такие задачи быстро, полезно действовать как по маршруту: шаг за шагом, не перескакивая через важные проверки.

Первый шаг — собрать исходные данные и определить, что сравнивается. Обычно это радиусы окружностей и расстояние между их центрами. Без этих трёх величин «правильная формула» превращается в гадание.

Второй шаг — выбрать правильную проверку по расстоянию и радиусам. Именно на этом этапе определяется, какой именно сценарий возможен: ноль, одна или две общие точки, либо совпадение.

Третий шаг — сделать вывод о количестве общих точек, опираясь на найденное соотношение. После этого несложно уточнить, какой геометрический смысл стоит за результатом: касание или пересечение.

Четвёртый шаг — короткая самопроверка «на правдоподобие». Например, если получилась пара точек пересечения, то мысленно должно быть понятно: окружности действительно могут «перекрыться» в двух местах.

Такой ритм экономит время. Схема работает потому, что в основе лежит строгая геометрическая логика: конфигурация задаётся сравнениями величин, а не случайными вычислениями.

20. Главный вывод по теме

Главный вывод прост и очень практичен: сравнение d с R + r и |R − r| позволяет без лишних вычислений определить любой случай взаимного расположения окружностей. Эта схема делает решение точным, быстрым и понятным.

Если расстояние между центрами d больше суммы радиусов R + r — окружности не пересекаются. Если d равно R + r — это касание извне. Если d равно |R − r| — касание изнутри. А если d меньше |R − r| — одна окружность целиком внутри другой без общих точек.

Когда же речь идёт о совпадении, ситуация становится особой: общих точек бесконечно много, и это подтверждает, что анализ условий неотделим от правильного вывода.

В итоге схема сравнения — как компас: вместо долгих путей достаточно правильно считать ориентиры, чтобы сразу знать, куда «приходит» решение.

Источники

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение.

Григорьев А. В., Орлов А. П. Геометрия: практикум задач по теме окружностей. М.: Просвещение.

Пойа Д. М. Как решать задачу. М.: Мир, 1975.

Евклид. Начала. Пер. с греч. (выбор издания), кн. I–IV.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия: учебник для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2019.

Погорелов А. В. Геометрия. М.: Просвещение, 2017.

Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Физматлит, 2000.

Сборник задач по геометрии для общеобразовательной школы / под ред. М. И. Башмакова. М.: Просвещение, 2018.