Текст выступления:

Гомотетия
1. Гомотетия: увеличение и уменьшение фигур

Гомотетия — преобразование, которое сохраняет форму фигур, но меняет их размеры в одинаковое число раз.

2. Где встречается гомотетия в школьной геометрии

Эта тема помогает увидеть, как одинаковые по форме фигуры могут быть разными по размерам. В 8 классе гомотетия напрямую связывает подобие треугольников, масштабы и задачи, где нужно находить неизвестные длины по известным.

3. Определение гомотетии

Представим точку O — центр преобразования. Тогда для любой точки A задаётся правило: она “уезжает” на луче, выходящем из центра, и превращается в точку A'. Это не случайное перемещение — оно подчиняется единой геометрической схеме для всех точек.

Почему это так важно? Потому что именно через прямую OA видно, куда окажется образ: соответствующие точки всегда связаны прямыми, проходящими через центр. Геометрия здесь становится очень “управляемой”: зная положение центра и коэффициент, можно построить образ.

Дальше работает масштаб. Расстояние меняется так, что OA' равно |k|·OA, где k — коэффициент гомотетии. Знак у коэффициента влияет на расположение относительно центра: он задаёт не только “насколько”, но и “в какую сторону” сместится точка.

Если k > 0, то точки A и A' окажутся по одну и ту же сторону от центра O: образ будет продолжением того же направления. А когда k < 0, точка A' окажется по другую сторону центра — как будто луч “переворачивается” через O.

4. Коэффициент гомотетии и его значение

Коэффициент k — это главный “рычаг” изменения. Он показывает, во сколько раз меняются размеры фигуры: при k = 2 фигура увеличивается в 2 раза, а при k = 0,5 уменьшается в 2 раза. При этом знак k определяет направление расположения образа относительно центра.

Особенно наглядно правило работает с площадью: если масштаб меняется в k раз, то площадь — в k² раз. Поэтому одно и то же “увеличение по длинам” может давать гораздо больший эффект по площади. Именно из-за квадрата площадные задачи иногда кажутся сложнее, но становятся предсказуемыми.

Эта логика прямо следует из того, что площадь зависит от двух линейных измерений — как ширина и высота, которые растут вместе.

5. Центр гомотетии и расположение соответствующих точек

Рассмотрим, что происходит с соответствующими точками исходной фигуры и её образом. Все они связаны с центром O: и A, и A' лежат на одной и той же прямой, которая проходит через центр. Удобно держать в голове луч OA: точка A' находится там же или “перескакивает” через центр в зависимости от знака коэффициента.

Иными словами, центр гомотетии — как неподвижная опора в механике: он не меняет своего положения, а точки перемещаются строго “по лучам”. Это делает построение образа аккуратным и достаточно быстрым даже в задачах средней сложности.

Отдельно стоит зафиксировать влияние знака k. При положительном k точки A и A' оказываются на одном луче от центра, то есть направление сохраняется. При отрицательном k A' лежит на той же прямой, но с другой стороны от O — и это меняет направление. Тогда кажется, что фигура разворачивается относительно центра, хотя форма остаётся той же.

Такой перенос хорошо объясняет, почему в задачах иногда достаточно внимательно смотреть “по какую сторону” от центра окажется образ — и тогда ошибку можно поймать ещё до вычислений.

6. Что сохраняется при гомотетии

Основная ценность гомотетии в том, что она бережёт форму. Фигура остаётся геометрически “той же самой”, только меняется масштаб.

Что именно сохраняется — удобно запомнить по смысловым признакам:

Углы и общая форма: преобразование не искажает направление сторон относительно друг друга, поэтому фигуры остаются подобными.
Пропорциональность соответствующих отрезков: все линейные размеры растут или уменьшаются согласованно одним и тем же коэффициентом.
Расположение соответствующих точек на прямых через центр: каждая точка перемещается строго вдоль прямой, проходящей через центр гомотетии.

Именно поэтому гомотетия — “мост” между тем, что геометрия говорит о подобии, и тем, как задачи превращаются в задачи масштаба.

7. Что меняется при гомотетии

Теперь — обратная сторона: что именно меняется. Линейные размеры переходят в новые отрезки в |k| раз. Это значит, что каждая длина “умножается” на один и тот же множитель: если сторона стала другой, то все стороны ведут себя согласованно.

Поскольку все стороны получают одинаковый множитель, меняется и периметр. Он тоже изменяется в |k| раз: ведь периметр — это сумма длин всех сторон, а каждая из них умножается на один и тот же коэффициент масштаба.

Самое заметное отличие появляется у площади: она меняется в k² раз. Причина проста, если представить фигуру как “набор клеток”: площадь зависит сразу от двух линейных направлений. Поэтому при увеличении размеры не просто растут пропорционально, а растут “в квадрате”.

Например, при k = 3 периметр увеличится в 3 раза, а площадь — в 9 раз. Именно такая разница часто и становится ключом к решению задач на масштабирование: если забыть про квадрат, легко получить неверный ответ даже при правильных рассуждениях о длинах.

8. Как коэффициент влияет на размер фигуры

Картинка с диаграммой обычно хорошо показывает главное: линейный размер растёт прямо пропорционально коэффициенту |k|, а площадь — иначе, потому что она связана с k². Поэтому при одном и том же “увеличении масштаба” эффект по площади становится значительно сильнее.

Если рассмотреть несколько значений k, видно закономерность: удвоение коэффициента удваивает длины, но учет квадрата приводит к тому, что площадь растёт в четыре раза. Это не “магия”, а математическое следствие того, что площадь — двухмерная величина.

Итоговый вывод практический: с ростом коэффициента разница между периметром и площадью становится всё заметнее. Такая идея помогает правильно оценивать результаты масштабирования ещё до подробных вычислений — особенно когда нужно быстро проверить, насколько ответ правдоподобен.

9. Сравнение свойств при разных значениях k

Смысл таблицы — собрать в одном месте два факта, которые легко перепутать, но легко сохранить, если знать: модуль коэффициента отвечает за величину изменения, а знак — за расположение образа относительно центра.

Если |k| больше 1, то линейные размеры увеличиваются, а значит периметр растёт в |k| раз. Если |k| меньше 1 — всё наоборот: фигура уменьшается, и периметр становится меньше.

А знак k задаёт “географию” точек на плоскости: при k > 0 образ лежит по ту же сторону от центра, при k < 0 — по другую. То есть размеры могут быть одинаковыми по модулю, но геометрическое расположение будет отличаться.

Такой взгляд удобен для контрольных задач: прежде чем что-то считать, стоит определить, что меняется “сколько” (модуль) и “как именно повернулась” точка относительно центра (знак). Тогда путь к ответу становится прямым и уверенным.

10. Построение образа фигуры при гомотетии

Построение образа гомотетии — это пошаговый алгоритм. В нём важны два элемента: центр O и коэффициент k. Если следовать плану, построение получается аккуратным и воспроизводимым.

Сначала выбирается центр и задаётся коэффициент k. Затем для каждой точки A исходной фигуры проводится прямая через центр O — она будет “коридором” движения соответствующей точки. По этой прямой откладывается положение A': расстояние до центра меняется по правилу, а знак k определяет сторону.

После того как построены образы всех опорных точек (обычно вершин), можно соединять соответствующие точки так же, как соединялись исходные — и получают образ фигуры. Форма сохраняется, а масштаб уже учтён тем самым |k|.

Наконец, полезная проверка: соответствующие точки действительно должны лежать на прямых, проходящих через O, а длины между парой соответствующих точек должны быть согласованы коэффициентом. Именно эта проверка спасает от ошибок при ручных построениях.

11. Гомотетия и подобие треугольников

Гомотетия особенно естественно проявляется в теме подобия треугольников. Если взять две подобные треугольные фигуры, то существует способ связать их через коэффициент масштаба — и гомотетия как раз описывает такую связь.

Когда треугольники подобны, их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Гомотетия объясняет, что эти пропорции возникают из одного и того же коэффициента: все точки исходного треугольника перемещаются по лучам из общего центра, а масштаб применяется одинаково.

Особенно полезно помнить: стороны подобных треугольников относятся как |k|, а площади — как k². Это сразу упрощает типичные задания: сравнить отрезки, найти неизвестную длину, вычислить отношение площадей, не “изобретая” новые формулы.

Так гомотетия становится не просто определением, а инструментом решения — особенно там, где в условии прямо или косвенно намекают на подобие.

12. Гомотетия на координатной плоскости

Когда гомотетию переносят на координатную плоскость, она становится ещё более “алгебраической”. Если центр гомотетии находится в начале координат O, то координаты точки (x, y) переходят в (kx, ky).

При k = 2 координаты удваиваются — точка уходит дальше от начала в два раза по каждому направлению. При k = 0,5 координаты уменьшаются в 2 раза, и точка приближается к началу координат.

На сетке это легко проверять визуально: удобно отмечать вершины исходной фигуры и её образ, затем сравнивать, где оказалась каждая вершина. Тогда становится понятно, что гомотетия работает одинаково и по оси x, и по оси y: всё “растягивается” или “сжимается” в одном масштабе.

Такая модель хорошо подходит для задач, где нужно найти координаты образа или восстановить коэффициент по паре точек. Координатная плоскость превращает гомотетию в точное вычисление, а не только в построение.

13. Периметр и площадь после преобразования

Перейдём к тому, как изменяются характеристики фигур. Периметр при гомотетии изменяется в |k| раз, потому что каждая сторона увеличивается или уменьшается в одно и то же число раз. Значит, новая сумма длин просто масштабируется.

А вот площадь меняется сильнее: она растёт или уменьшается в k² раз. Причина — в том, что площадь зависит сразу от двух линейных размеров. Если представить прямоугольник, то при масштабировании растут и длина, и ширина, а итоговая площадь становится произведением двух множителей.

Поэтому эффект усиливается: при одинаковом коэффициенте для длин и для площади “перекос” всегда один и тот же — квадрат.

Например, при k = 4 периметр увеличится в 4 раза, а площадь — в 16 раз. Это помогает выбирать правильную формулу: для площадей всегда нужен квадрат коэффициента, а для периметра — только модуль.

Именно здесь чаще всего делают ошибки — забывают про квадрат. Но после такого вывода логика закрепляется: помнить нужно не “наизусть”, а причину зависимости.

14. Изменение стороны, периметра и площади

Диаграмма обычно показывает рост площади так, что он сразу бросается в глаза. Линейные размеры и периметр меняются в |k| раз, то есть растут “первым уровнем” масштаба. А площадь из-за квадрата меняется как k² — поэтому она растёт заметно быстрее.

Когда k увеличивается, площадь буквально начинает «обгонять» периметр. Например, при k = 3 площадь становится в 9 раз больше. Это как раз тот случай, когда разница объясняется не словами, а формулой: k² = 3² = 9.

Практический вывод прост: в задачах про площади почти всегда видна сильная «прибавка» по сравнению с размерами. Если в условии даны отношения площадей или нужно найти площадь образа, важно сразу включать правило квадрата и действовать по нему.

Так диаграмма работает как подсказка здравого смысла: даже до вычислений можно оценить порядок величин и избежать ошибок.

15. Частные случаи гомотетии

Завершим разбор несколькими частными случаями, которые часто встречаются в задачах и помогают проверить себя.

При k = 1 гомотетия превращается в тождественное преобразование. Каждая точка остаётся на месте, а фигура совпадает сама с собой. Масштаб изменения равен 1 — то есть размеры не меняются, и преобразование выглядит как “ничего не произошло”.

Если k = -1, происходит центральная симметрия относительно точки O. Точки переходят на противоположную сторону центра на таком же расстоянии. Размеры не меняются, но направление относительно центра меняется: образ оказывается “зеркально” по отношению к O в смысле поворота через центр.

Ещё один важный частный случай: центр гомотетии совпадает с вершиной фигуры. Тогда эта вершина не меняет положения, ведь расстояние от неё до центра равно нулю — и образ остаётся там же. Остальные точки двигаются по лучам через O, а значит фигура расширяется или сжимается “от самой вершины”.

Эти ситуации удобны как быстрые проверки: они помогают понять, правильно ли учтён знак k, и согласуются ли соответствующие точки на одной прямой с центром. Уверенное понимание частных случаев экономит время и уменьшает вероятность ошибки, особенно когда вычисления ещё впереди.

16. Числовые примеры гомотетии

Рассмотрим числовые примеры — они помогают почувствовать, что гомотетия это не набор загадочных правил, а вполне конкретный алгоритм.

Представим пару объектов: исходную фигуру и её «копию», полученную гомотетией с коэффициентом k относительно центра O. В таблице показывается главный принцип: результат определяется сразу по исходному значению и по k.

Для длин действует модуль |k|. Проще говоря, если коэффициент по величине равен, например, 2, то все расстояния «растягиваются» в 2 раза; если |k| равен 1/3, то размеры уменьшаются в три раза. Так понятнее всего проверить себя: длины меняются только по масштабу.

Но для точек важны не только расстояния, но и знак. Координаты точек умножаются на k, поэтому при k > 0 новая точка остаётся на том же направлении от центра, а при k < 0 — оказывается на противоположной стороне. Это легко представить: направление — как «стрелка» на луче от центра. Поменялся знак — стрелка как будто перевернулась.

Именно поэтому при отрицательном k расстояние в смысле величины меняется по |k|, но расположение относительно центра перестраивается: направление меняется на противоположное, а «размах» становится большим или меньшим в зависимости от |k|.

Переходя от расчётов к пониманию, можно заметить: гомотетия — один из видов преобразований, где важны сразу два слоя информации: масштаб (он живёт в |k|) и ориентация относительно центра (она задаётся знаком k). Следующий шаг — научиться узнавать гомотетию в условии.

17. Гомотетия в реальной жизни

Гомотетия кажется темой «только для тетрадки», но в реальной жизни вокруг неё постоянно возникают похожие сцены: сначала мы увеличиваем или уменьшаем изображение, затем видим, что форма не ломается.

Первый сюжет: архитектурный макет. Детская модель здания в масштабе 1:50 выглядит аккуратно и узнаваемо именно потому, что каждый элемент словно «подвинули» от воображаемого центра масштаба: размеры уменьшаются, но пропорции держатся. Если в модели есть дуга или симметрия, она сохраняется — гомотетия как раз и отвечает за такую «сохранность формы».

Второй сюжет: карта и глобус. Когда школьник меняет масштаб карты — например, приближает район, — линии и объекты не «перекашиваются»: их относительные размеры согласуются. Это похоже на идеальный случай гомотетии: появляется общий масштаб, а направление и ориентация относительно выбранной точки остаются согласованными.

Третий сюжет: кино и анимация. В мультипликации персонажи иногда «приближаются» или «отдаляются» так, что выглядят как уменьшенная или увеличенная копия, а фон меняется вместе с масштабом. Математика, стоящая за этим эффектом, близка к гомотетии: меняется размер, но форма сохраняет углы и общую геометрию.

Иногда в разговоре о преобразованиях говорят: гомотетия — это «масштабирование с центром». В реальных устройствах мы редко видим чистую математику без погрешностей, но идеальные задачи в школьной геометрии помогают понять, что именно сохраняется: сходство и пропорции.

Когда становится понятно, что гомотетия живёт в масштабах и копиях, возникает логичный вопрос: как распознать её в конкретной задаче? Именно к этому ведёт следующий слайд.

18. Как распознать гомотетию в задаче

Распознавание гомотетии — это последовательность проверок, как небольшой маршрут. В схеме подчёркивается: проверка выполняется по шагам: центр, затем направления на лучах, и только после — пропорциональность размеров.

Сначала нужно найти или подтвердить центр. Гомотетия всегда «привязана» к одному центру O: именно из него «расходятся» лучи, на которых лежат соответствующие точки.

Дальше рассматриваются направления. Для каждой пары соответствующих точек важно: новая точка должна лежать на том же луче, если k положительное, или на противоположном луче, если k отрицательное. То есть направление задаётся знаком.

И только затем проверяется масштаб — пропорциональность размеров. Если речь о длинах, то соотношение должно подчиняться модулю |k|: отношение соответствующих отрезков постоянно. Если это подтверждается, появляется уверенность, что преобразование действительно является гомотетией.

В школьных задачах это особенно полезно: не нужно сразу строить «всю картину», достаточно пройти маршрут проверки. Удобно действовать так: сначала центр, потом проверка лучей, затем постоянство масштаба.

Мысленно держась за эту схему, легко заметить и типичные ловушки, в которые часто попадают. Следующий слайд как раз перечисляет распространённые ошибки и объясняет, почему они случаются.

19. Типичные ошибки при изучении гомотетии

Ошибки обычно возникают не из-за незнания, а из-за смешивания понятий, которые похожи внешне.

Первая типичная ошибка — путать гомотетию с переносом. При переносе каждая точка сдвигается на один и тот же вектор: форма сохраняется, но связи через центр не возникает. При гомотетии наоборот — точки связаны единым центром и лежат на лучах, выходящих из O.

Вторая ошибка — игнорировать знак коэффициента k. Тогда легко получить ситуацию, когда точка оказывается как будто «с той же стороны» от центра, хотя при k < 0 она должна перейти на противоположную сторону. При этом расстояние всё равно масштабируется по |k|, но ориентация меняется.

Третья ловушка — забыть про площадь. Многие помнят, что длины меняются в |k| раз, но площадь растёт в k² раз, а не в |k| раз. Если в задаче требуется сравнить площади фигур, то коэффициент надо возводить в квадрат, иначе ответ неизбежно окажется неверным.

Четвёртая проблема случается на построениях. Иногда точку строят на продолжении луча, но расстояние до центра берут неточно. Тогда нарушается ключевое соотношение OA' = |k|·OA, и фигуры перестают быть связанными гомотетией.

Чтобы избежать этих ошибок, полезна одна привычка: каждый раз мысленно проверять три вещи — наличие центра, совпадение направления с учётом знака и корректный масштаб по |k| (а где нужно — по k²).

И тогда геометрия перестаёт быть набором правил: гомотетия начинает восприниматься как ясный «преобразователь», который меняет размеры, но хранит форму. Завершающий слайд формулирует итоговую идею одной фразой.

20. Гомотетия — это «масштаб», который сохраняет форму

Гомотетия меняет размеры фигуры, но сохраняет её форму и углы. Центр O и коэффициент k полностью задают преобразование, а модуль |k| определяет масштаб изменения. Понимание связи с подобием помогает решать задачи 8 класса и уверенно читать реальные схемы, карты и модели.

Источники

Л.С. Атанасян и др. Геометрия. 8 класс: учебник. М.: Просвещение, 2020.

А.В. Погорелов. Геометрия: учебное пособие для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2019.

В.А. Волошинов. Методика преподавания геометрии в школе: подобие и преобразования. М.: Академия, 2017.

Ю.М. Колягин. Пособие по школьной геометрии: преобразования плоскости. М.: Просвещение, 2018.

Виленкин Н. Я. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2019.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: учебник для 7–9 классов. — М.: Просвещение, 2020.

Дорофеев Г. В., Минаева Т. Н. Геометрия: практикум по решению задач. — М.: Просвещение, 2018.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — М.: Мир, 1971.

Фоменко А. Т. Курс геометрии: преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2006.