Текст выступления:

Гомотетия
1. Гомотетия: как фигуры увеличиваются и уменьшаются

Есть один красивый геометрический закон: фигуры могут менять размер, оставаясь такими же по форме. Он отвечает на вопрос, почему похожие объекты бывают разного масштаба — от чертежей и макетов до фотографий и карт.

2. Где видна гомотетия в жизни

Гомотетия помогает понять, почему одинаковые по форме объекты могут быть разного размера. На картах и в планах удобно сохранять пропорции: расстояния пересчитываются в масштаб. То же происходит в макетах, в фотографиях при изменении масштаба и даже в учебных задачах, где рисунок — это уменьшенная модель реальности.

3. Определение гомотетии

Начнём с главного определения. Гомотетия — это преобразование плоскости (или пространства), при котором все точки фигуры «тянутся» из одного фиксированного места — центра гомотетии — в одном направлении.

Обычно рассматривают коэффициент гомотетии k. Он показывает, во сколько раз меняется расстояние от центра: если k больше 1 по модулю, фигура увеличивается; если k по модулю меньше 1 — уменьшается. При этом формы не «ломаются»: углы и общая «геометрическая картина» сохраняются.

Ещё важный момент — знак коэффициента. Знак определяет, по какую сторону от центра окажется образ: при положительном k изображение будет по той же стороне, а при отрицательном — «переворачивается» относительно центра. Поэтому гомотетия — это не просто масштабирование, а масштабирование с управлением направлением.

4. Центр гомотетии и образ точки

В центре гомотетии геометрия становится особенно наглядной.

Центр фиксирован. Если точка совпадает с центром, то её образ — она же. Это как «неподвижная опора»: оттуда ничего не сдвигают.

Образ точки задаётся расстоянием. Для любой точки A образ A′ находится на луче из центра: A, C и A′ лежат на одной прямой. Причём отношение расстояний от центра равно модулю коэффициента: CA′ = |k|·CA.

Направление задаёт знак. При k > 0 точки A и A′ по одну сторону центра; при k < 0 — по разные стороны. Из-за этого отрицательный коэффициент часто воспринимают как «разворот» через центр.

Это масштаб с сохранением формы. Если взять несколько точек и соединить их линиями, полученная фигура сохраняет пропорции исходной: длины меняются одинаково «по правилу k», а форма остаётся подобной.

5. Как меняется расстояние при разных коэффициентах

Теперь соберём правило в таблицу идей. В гомотетии расстояние от центра до образа определяется коэффициентом.

Смысл очень простой: модуль коэффициента показывает, во сколько раз меняется расстояние. Например, при |k| = 2 расстояние удваивается; при |k| = 1/2 оно уменьшается вдвое. Это одинаково работает для любых точек фигуры.

Знак же отвечает за «сторону» от центра. Коэффициент может быть положительным или отрицательным: в первом случае изображение оказывается по ту же сторону луча, а во втором — по противоположную. Поэтому одна и та же величина |k| может давать похожее «увеличение по масштабу», но разное положение относительно центра.

6. Длина отрезка при разных коэффициентах гомотетии

От расстояний перейдём к отрезкам. В гомотетии отрезок превращается в отрезок, и его длина меняется так же, как меняется расстояние от центра.

На практике это означает, что выбранный коэффициент влияет на всю фигуру одинаково: если один конец отрезка «отдаляется» в |k| раз, то и второй конец делает это по тому же правилу, а значит длина образа отрезка тоже умножается на |k|. Не бывает ситуации, когда один участок меняется по одному множителю, а другой — по другому.

При увеличении модуля коэффициента образ становится длиннее. В выводах легко увидеть прямую линейную зависимость: длина возрастает пропорционально |k|. Если для конкретного отрезка задана длина, то образ получается по формуле OA′ = |k|·OA. Именно поэтому такие задачи решаются довольно механически: подставил длину — получил новую.

7. Основные свойства гомотетии

Ключевой поворот — когда меняются не линии, а площади. У гомотетии есть правило, которое помогает быстро оценивать, как изменится «размер поверхности».

Если коэффициент гомотетии меняет длины в |k| раз, то площадь меняется в k² раз. Это похоже на то, как в школе объясняют переход от «одномерных» величин к «двумерным»: длина масштабируется линейно, а площадь — квадратично.

Важная идея здесь выражается особенно наглядно: когда стороны увеличиваются в 2 раза, площадь становится больше в 4 раза. Поэтому квадрат коэффициента — это причина, почему «на глаз» фигуры могут выглядеть будто увеличенными сильнее, чем ожидалось бы по длинам.

Это свойство можно сформулировать строго: S′ = k²S. Оно делает гомотетию удобным инструментом в задачах на подобие, где нужно сравнивать площади фигур.

8. Построение образа фигуры при гомотетии

Переходим от формул к построению. На рисунке этот процесс обычно выглядит как последовательность шагов.

Сначала выбирают центр гомотетии C и коэффициент k. Затем каждую характерную точку исходной фигуры переводят по одному и тому же правилу: проводят прямую через центр, находят на соответствующем луче точку A′ так, чтобы отношение расстояний к центру выполнялось по модулю |k|.

После того как образы всех опорных точек найдены, соединяют их так же, как были соединены исходные точки: стороны и линии получаются «в масштабе» и сохраняют подобие.

Главная мысль построения — одинаковость правила для всех точек. Центр задан один, коэффициент один, значит и результат — единая «копия» с масштабом k, а не набор разрозненных изменений.

9. Гомотетия и подобные треугольники

Гомотетия тесно связана с подобием. Особенно удобно это видеть на треугольниках.

Когда фигура преобразуется гомотетией, её образ оказывается подобным исходной фигуре: соответствующие углы равны, а стороны относятся как один и тот же коэффициент. В случае треугольников это означает: треугольник и его образ — подобные.

Если провести подобие «вдоль лучей», образные точки оказываются на тех же направлениях относительно центра. Поэтому отношение любых соответствующих сторон совпадает по модулю с коэффициентом гомотетии, а форма треугольника узнаваемо сохраняется.

Так гомотетия становится мостом между задачами: вместо того чтобы сравнивать детали рисунка, можно использовать свойства подобия и правило изменения длин от коэффициента k. Это ускоряет решения и помогает не теряться в вычислениях.

10. Как коэффициент влияет на площадь

Теперь снова про площади — но уже с выводом, который помогает почувствовать закономерность.

Для площади важно не только то, что стороны стали больше: изменение происходит по квадрату коэффициента. Поэтому рост площади сильнее роста линейных размеров.

В анализе это выглядит так: если увеличить стороны в 3 раза, то площадь увеличится уже в 9 раз. Смысл здесь именно в формуле S′ = k²S: квадрат коэффициента «усиливает» эффект.

Такое правило часто используют в школьных заданиях и проверочных работах: оно экономит время, потому что не требует каждый раз заново измерять площадь по формуле площади фигуры. Достаточно знать, во сколько раз изменились стороны, и перейти к площади через квадрат.

11. Отрицательный коэффициент гомотетии

Иногда коэффициент гомотетии бывает отрицательным, и это вводит ощущение «необычности» — хотя само правило остаётся тем же.

Отрицательный k меняет направление: образ точки оказывается по другую сторону от центра. Поэтому фигура может выглядеть как будто «переложенная» через центр.

При этом модуль |k| отвечает за масштаб — во сколько раз расстояния увеличиваются или уменьшаются. То есть при k = −2 и k = 2 масштаб по длинам будет одинаковым, но расположение образа относительно центра различается.

Именно поэтому в задачах внимательно следят за лучами: нужно не только умножить длину на |k|, но и правильно определить сторону относительно центра, чтобы построение и ответ были корректными.

12. Гомотетия в реальных примерах

Геометрия становится особенно интересной, когда видны реальные применения.

В реальных объектах гомотетия помогает уменьшать или увеличивать изображения и детали, не меняя форму. Масштаб чертежа работает как «коэффициент гомотетии»: он показывает, во сколько раз размеры на чертеже меньше или больше реальных.

Во всех таких ситуациях сохраняются пропорции. Это ключевое условие: если пропорции сохранены, значит изменения — гомотетические, а форма остаётся той же.

Поэтому масштаб позволяет быстро переводить реальные длины в размеры модели или наоборот. Такой подход важен в инженерных задачах, в архитектуре, при создании макетов и даже в учебных практиках, где макет помогает понять устройство предмета без сложных измерений «на месте».

13. Чем гомотетия отличается от движения

Для понимания преобразований полезно сравнить гомотетию и движения.

• Главное различие: при движении фигура перемещается или поворачивается без изменения размера. Гомотетия же меняет размер, потому что в ней есть коэффициент k.

• При движении сохраняются расстояния между точками и размеры: линейные размеры не меняются. При гомотетии длины меняются в |k| раз.

• При движении сохраняются формы «один в один» и не меняется площадь. При гомотетии площади меняются в k² раз — и это заметно уже на простых примерах.

• Ещё один ориентир — наличие центра. У гомотетии есть фиксированный центр, относительно которого точки «тянутся». У движения такого центра масштабирования нет.

Итоговый вывод прост: гомотетия делает фигуру подобной исходной, а движение сохраняет её без изменения размера.

14. Как проверить, что преобразование является гомотетией

Когда нужно доказать, что данное преобразование — гомотетия, удобно идти по плану.

Ищут центр. Если известно, что существует точка C, из которой «лучами» можно связать исходные точки с их образами, это первый сильный признак.

Проверяют положение точек на одной прямой. Для каждой пары точек A и A′ должно выполняться условие коллинеарности: A, C и A′ лежат на одной прямой.

Сверяют одинаковость масштабного отношения. Должно получаться одно и то же отношение расстояний от центра: отношение CA′ к CA должно быть равно одному и тому же коэффициенту k (или его модулю, с учётом знака).

Контролируют углы и подобие. Если фигуры оказываются подобными и соответствующие стороны относятся одинаково, это согласуется с гомотетией.

Схема проверки по сути и есть последовательность: центр → прямые → расстояния → соответствие коэффициента. Если все пункты сходятся, преобразование можно уверенно считать гомотетией.

15. Изменение периметра и площади при гомотетии

Заключим важными последствиями для измеримых величин — периметра и площади.

Периметр реагирует на коэффициент так же, как длины сторон. То есть если коэффициент гомотетии по модулю равен |k|, то периметр образа меняется тоже в |k| раз. Он «линейный» по природе: суммирует длины, а длины масштабируются линейно.

Площадь же масштабируется иначе: она зависит от квадрата коэффициента. Поэтому площадь меняется в k² раз.

Данные и формулы подтверждают это правило: линейные размеры и периметр изменяются в |k| раз, а площадь — в k² раз. Например, для квадрата удобно сравнивать наглядно: при коэффициенте 2 стороны увеличиваются, периметр становится больше в 2 раза, а площадь — уже в 4 раза.

Так гомотетия связывает три уровня: точки и расстояния, линии и периметр, а затем «поверхности» и площадь. Именно поэтому её считают одним из самых практичных преобразований геометрии: она помогает решать задачи быстро и объяснять результаты логично.

16. Гомотетия в архитектуре и искусстве

Гомотетия — это способ «пересобрать» форму: фигура сохраняет очертания, но меняется масштаб. Именно поэтому она так заметна в архитектуре и искусстве — там, где важны и узнаваемость образа, и точные расчёты.

Представим первый сюжет. В парке или на фасаде здания орнамент может быть повторён как в маленьком, так и в большом размере. Каменщик или дизайнер переносит основу узора так, как будто уменьшает или увеличивает фотографию: меняется размер, но сохраняется рисунок линий и их «направление» относительно одного центра. За счёт этого композиция остаётся целостной и гармоничной даже при разных масштабах.

Второй сюжет — музейная экспозиция и сценография. Плакат, макет декораций или схема сценического пространства часто строятся от одного «эталона»: выбирают центр и коэффициент увеличения. Тогда детали, которые в маленьком макете были просто «точками» и «штрихами», в реальности превращаются в выразительные элементы сцены. Зритель воспринимает целую форму сразу — без необходимости заново «учить» её.

Третий сюжет — искусство и иллюстрации. Художник может взять композицию, созданную для одной серии, и сделать вариацию для другой: увеличить портрет, фрагмент орнамента или часть иллюстрации, сохранив стилистику. Гомотетия помогает добиться эффекта узнаваемости: фигуры остаются подобными, а значит, взгляд легко «считывает» целое, даже когда размеры изменяются.

Эта идея оказывается полезной и в точной науке, и в творчестве: один и тот же математический принцип позволяет и архитектору, и художнику работать с формой уверенно — от эскиза до реального масштаба.

17. Типичные ошибки при изучении гомотетии

Переход от образов к задачам начинается с аккуратности. Часто ошибки связаны не с формулами, а с вниманием к геометрическому смыслу.

Путают центр с точкой масштабирования В гомотетии важен выбранный центр: именно он задаёт «направление» лучей, по которым точки переезжают. Если перепутать центр, подобие может разрушиться.

Берут один коэффициент, но применяют его только к сторонам Коэффициент масштабирования влияет на расстояния и длины системно. Нельзя увеличить только одну «часть» рисунка: все соответствующие отрезки должны увеличиваться в одной пропорции.

Считают, что сохраняются углы и стороны одновременно Углы действительно остаются прежними, а вот стороны меняются. Размер меняется, поэтому периметр и площадь ведут себя по своим законам.

Забывают, что при отрицательном k меняется ориентация Если коэффициент отрицательный, точки «уходят» по другую сторону от центра, и фигура разворачивается относительно центра. Это важно в задачах на расположение.

Неправильно выбирают соответствующие вершины Для гомотетии нужно связать каждую вершину исходной фигуры с её «парой» в новой. Если соответствие выбрано неверно, даже правильные расчёты не сойдутся.

Чтобы двигаться дальше, полезно иметь «карту» того, что меняется, а что остаётся прежним. Именно с этого и начинается анализ закономерностей при гомотетии.

18. Что сохраняется и что меняется при гомотетии

Теперь — самая практичная часть: какие свойства фигуры остаются неизменными, а какие меняются при гомотетии. В задачах это похоже на список «правил безопасности»: зная его, проще не ошибиться.

На схеме удобно видеть, что не все характеристики фигуры изменяются одинаково: одни остаются неизменными, другие зависят от коэффициента по разным правилам.

Главный вывод такой: углы сохраняются. Форма не ломается и не «растягивается» случайно — она остаётся подобной самой себе.

Дальше действуют законы масштаба. Стороны и периметр растут (или уменьшаются) пропорционально модулю коэффициента |k|. То есть все длины «умножаются» на |k|.

А вот площадь меняется сильнее: она зависит от k². Это значит, что при увеличении в 2 раза (k=2) площадь становится в 4 раза больше. Причина понятна интуитивно: площадь измеряет «двумерный размер» — там участвуют и горизонтальные, и вертикальные изменения масштаба.

Понимание этих трёх фактов — сохранение углов, линейный рост длин и квадратичное поведение площади — превращает гомотетию из загадки в управляемый инструмент.

Следующий шаг — как системно решать задачи, используя этот набор правил.

19. Алгоритм решения задач на гомотетию

Когда на листе появляется геометрическая задача, хочется действовать не наугад. Поэтому полезно придерживаться простого алгоритма — он помогает держать в голове логику.

Шаг 1: Выписать центр и проверить, действительно ли задана гомотетия Сначала определяют, есть ли у лучей общего направления общий центр. Если центра нет или он подобран неверно, всё решение будет «не про то».

Шаг 2: Установить коэффициент k по одной паре соответствующих точек или отрезков Коэффициент находят через отношение расстояний от центра или через отношение соответствующих отрезков. Здесь важно использовать именно соответствующие элементы.

Шаг 3: Применить масштаб к нужному элементу (длина, периметр или расстояние) Если требуется длина — используют правило линейного изменения. Периметр меняется так же, потому что это сумма длин, каждая из которых умножается на |k|.

Шаг 4: Для площади использовать закон k² Когда в условии появляется площадь, не применяют линейное правило. Площадь масштабируется как квадрат коэффициента: она растёт или уменьшается намного быстрее.

Шаг 5: Проверить результат по сохранению углов и общей подобности В конце логично проверить: углы должны совпадать, а форма — быть подобной исходной. Такая проверка часто ловит ошибки ещё до ответа.

Этот порядок работает и с «сухими» числами, и с рисунками, где нужно понять, как именно связаны точки и отрезки. А чтобы закрепить, важно подвести итог: что именно даёт гомотетия в понимании формы и масштаба.

20. Гомотетия: форма та же, размер другой

Гомотетия показывает, как одна и та же фигура может стать больше или меньше, не теряя своей формы. Зная коэффициент и центр, можно уверенно решать задачи и понимать масштаб вокруг себя.

Источники

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2019.

Колмогоров А. Н., Александров П. С. Математика. Элементарная геометрия. М.: Наука, 1986.

Понтрягин Л. С. Геометрия. Основы преобразований на плоскости. М.: Наука, 1977.

Рыжик В. И. Преобразования плоскости и их приложения в школьном курсе геометрии. М.: Просвещение, 2004.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т., Юдина Н.Ф. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Просвещение, 2019.

Киселёв А.П. Геометрия. — М.: Наука, 1970.

Кузнецов В.В. Очерки по истории геометрии и математического образования. — СПб.: РГПУ им. А.И. Герцена, 2008.

Шгалаев А.В. Геометрические преобразования: методические рекомендации для изучения подобия и гомотетии. — М.: МЦНМО, 2016.