Текст выступления:

Гомотетия: подобие фигур
1. Гомотетия и подобие фигур

Фигура сохраняет форму, меняя размер и масштаб. Именно с этим связана идея гомотетии — одного из самых “удобных” способов понять подобие.

2. Зачем нужна гомотетия в 9 классе?

Она помогает видеть подобие не как абстрактное слово, а как конкретный способ получить одну фигуру из другой. Благодаря гомотетии проще работать с чертежами, картами и моделями — и решать задачи на длины, периметры и площади.

3. Определение гомотетии

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка образа получается из соответствующей точки исходной фигуры “выстрелом” через один общий центр.

Идея проста: выбирается центр гомотетии O и коэффициент k. Для любой пары соответствующих точек точка образа лежит на прямой, проходящей через O и исходную точку, а расстояния меняются по одному закону — с одним и тем же коэффициентом k.

Если k больше нуля, точки образа оказываются по ту же сторону от центра, а если k меньше нуля — по другую. Именно поэтому в задачах так важно правильно понимать знак и модуль коэффициента.

4. Центр гомотетии и соответствующие точки

Центр гомотетии — это “ось смысла”, через которую проходят все линии соответствия. Его можно представить как точку на рисунке, от которой исходная фигура “растягивается” или “сжимается”.

Для любой исходной точки P соответствующая ей точка P’ образа лежит на прямой OP. Так становится ясно, как именно фигура поворачивается в смысле положения: не поворачивается как при вращении, а перестраивается через центр.

Коэффициент k управляет масштабом: он задаёт, во сколько раз меняется расстояние от центра до точки образа. Благодаря этому все соответствующие отрезки растут или уменьшаются одинаково, а форма сохраняется.

5. Как коэффициент k влияет на результат

Коэффициент k — главный “пульт управления” гомотетией. Одна часть информации связана с масштабом, другая — с тем, по какую сторону от центра окажется образ.

Когда модуль коэффициента |k| больше 1, фигура увеличивается; когда меньше 1, — уменьшается. Но знак k тоже влияет: он определяет расположение образа относительно центра.

Если k положительный, образ находится “в той же направленности”. Если k отрицательный, то точки образа оказываются на противоположной стороне от центра — и это сразу отражается на том, как выглядит вся фигура на чертеже.

Итог: модуль отвечает за масштаб, а знак — за расположение относительно центра. Поэтому даже одно число в условии может полностью изменить рисунок.

6. Что сохраняется при гомотетии

Гомотетия — преобразование, которое бережёт “форму”, а значит сохраняет то, что связано с подобием.

Прежде всего сохраняются углы между соответствующими сторонами: фигуры остаются подобными. Это особенно важно, когда проверяется сходство треугольников, четырёхугольников и других многоугольников.

Сохраняется направленность параллельности: если стороны были параллельны, то и в образе остаются параллельными. В задачах это часто помогает быстро понять, что линии на рисунке соответствуют друг другу.

И, конечно, сохраняется схема соответствий: каждая точка получает “свою” точку образа, причём всё строится через один центр O и один коэффициент k.

7. Как меняется площадь при разных коэффициентах

Площадь — тот параметр, который меняется заметнее всего. На интуитивном уровне это понятно: увеличение отрезков в несколько раз приводит к увеличению “поверхности” уже по более сильному закону.

В гомотетии площадь масштабируется как квадрат коэффициента: если длины меняются в |k| раз, то площади — в k² раз.

Поэтому чем больше коэффициент, тем заметнее рост площади: увеличение получается нелинейным. Это полезно в задачах, где требуется сравнить территории, поверхности моделей или фигуры на картах.

И всё сводится к главному выводу: площадь зависит от квадрата коэффициента гомотетии, поэтому итоговые значения растут не так, как длины, а заметно быстрее.

8. Примеры гомотетии в жизни и школе

Гомотетия встречается чаще, чем кажется, просто не всегда так называется.

Во‑первых, это школьные модели и макеты: если уменьшить модель здания “через точку” как в чертеже, получится образ, где форма похожа, а размеры меняются по единому коэффициенту.

Во‑вторых, полезен взгляд на карты и схемы. Когда карта представлена в масштабе, соотношения между объектами сохраняются: линии и формы похожи, а размеры пересчитываются по правилам масштабирования.

В‑третьих, это ситуации, когда берут один и тот же “центр изменения” — например, строят геометрическую иллюстрацию в учебной задаче: задают центр O и коэффициент k и получают новый рисунок, соответствующий исходному по закону гомотетии.

9. Построение образа фигуры при гомотетии

Построение образа фигуры — это последовательность действий, которую легко превращать в алгоритм.

Алгоритм начинается с выбора центра O и коэффициента k. После этого берётся исходная фигура и для каждой её вершины выполняется одинаковая схема.

Сначала из каждой исходной точки проводят прямую через центр O. Далее на этой прямой откладывают соответствующую точку P’ так, чтобы расстояние от центра менялось с коэффициентом k.

Когда все вершины переведены в соответствующие точки, соединяются их в том же порядке, что и у исходной фигуры. Получается образ, подобный исходной фигуре.

Такая “ступенчатость” важна: она помогает не путаться на чертеже и правильно контролировать себя по закону расстояний.

10. Гомотетия и подобие фигур

Связь гомотетии с подобием фигур — центральная. Гомотетия как раз и создаёт подобный образ: углы сохраняются, а стороны изменяются масштабом по одному коэффициенту.

По сути, если одна фигура получается из другой с помощью выбранного центра O и коэффициента k, то эти фигуры подобны: они имеют одинаковую “геометрию формы”, только в другом размере.

Поэтому во многих задачах сначала ищут, можно ли описать преобразование через гомотетию, а затем используют известные свойства подобия.

И дальше уже становится проще: проверка сводится к контролю коэффициента, соответствующих сторон и знака k, когда требуется учесть расположение относительно центра.

11. Сравнение двух подобных треугольников

Сравним два подобных треугольника на примере. Подобие означает, что углы равны, а соответствующие стороны соотносятся одинаково.

На практике это выражается так: соответствующие стороны увеличены одинаково, значит форма сохраняется, а размер меняется по одному коэффициенту.

Если отношение соответствующих сторон равно 2, то это сразу даёт ключ: треугольники подобны, а их углы равны. Коэффициент в таких задачах часто становится “одним числом”, через которое соединяются все остальные выводы.

Такой подход хорош тем, что чертёж перестаёт быть просто картинкой: он превращается в систему проверяемых соотношений.

12. Отрицательный коэффициент гомотетии

Не только модуль, но и знак коэффициента k влияет на результат. При отрицательном коэффициенте фигура оказывается “перенесённой через центр”.

Говоря словами геометрии, линии соответствия сохраняются, но направление от центра меняется: образ располагается по противоположной стороне.

При этом размер меняется так же, как определяет |k|, а вот положение относительно центра — меняется принципиально. Поэтому иногда на первый взгляд одинаковые треугольники в итоге оказываются не в той “стороне рисунка”, и знак k это объясняет.

Если кратко: отрицательный k задаёт центральную симметрию без изменения масштаба — то есть получается “зеркальное по центру” расположение точек.

13. Гомотетия на координатной плоскости

Когда гомотетию рассматривают на координатной плоскости, геометрия становится ещё более “счётной”. Идея та же: есть центр O и коэффициент k.

Сначала центр O задаёт, относительно чего происходит перестроение. Затем каждая точка P на плоскости имеет соответствующую точку P’ так, что лучи из центра проходят через соответствующие точки.

Самое полезное — то, что координаты пересчитываются по масштабу: получается новое положение, в котором сохраняются соотношения подобия.

Наличие изображения на слайде подчёркивает главное: гомотетия на координатной плоскости — это не “просто рисунок”, а контролируемое преобразование, которое можно повторять для каждой вершины.

И тогда становится удобно связывать геометрические свойства с вычислениями: можно находить координаты образа и проверять подобие не только глазами, но и по числам.

14. Как меняются длины, периметры и площади

При гомотетии линейные величины изменяются одинаково, потому что каждая сторона — это отрезок, связанный с масштабированием.

Если коэффициент гомотетии по модулю равен k, то длины соответствующих отрезков меняются в |k| раз, и периметр тоже масштабируется в |k| раз.

Но площадь ведёт себя иначе: она реагирует на коэффициент сильнее, потому что зависит от квадрата. Это тот самый эффект, когда увеличение “по одной оси” превращается в увеличение “по двум измерениям”.

Итог, который стоит запомнить как правило: все линейные размеры меняются одинаково, а площадь увеличивается по квадрату коэффициента. Это превращает многие задачи в быстрые вычисления.

15. Проверка подобия фигур

Чтобы проверять подобие фигур, удобно опираться на алгоритм. Его смысл — идти шаг за шагом и не перепутать, что именно должно совпасть.

Сначала сравнивают характеристики фигур так, чтобы понять, есть ли общий “масштабный коэффициент”. Далее проверяют, совпадают ли углы у соответствующих элементов — ведь подобие предполагает сохранение формы.

После этого проверяется пропорциональность сторон: если существует единый коэффициент, то отношения соответствующих сторон должны быть одинаковыми.

Алгоритм помогает последовательно установить, можно ли считать фигуры подобными: от признаков подобия к выводу. Такой порядок снижает риск ошибки и делает проверку похожей на вычислительную процедуру, а не на угадывание по рисунку.

16. Типичные ошибки при изучении гомотетии

Переходя к гомотетии, многие начинают с уверенности: «это просто масштаб». Но именно здесь чаще всего и появляются ошибки — не из-за сложности идеи, а из-за невнимания к условиям.

Во‑первых, путают направление: считают, что при отрицательном коэффициенте фигура «уменьшается как обычно», хотя знак влияет на расположение относительно центра. В итоге центр будто «теряется», и соответствующие точки оказываются по другую сторону.

Во‑вторых, смешивают понятия «подобие» и «гомотетия». Подобные фигуры могут получаться не только гомотетией: иногда требуется поворот или другое преобразование. Если же в задаче явно говорится о гомотетии, важно соблюсти именно её устройство: все отрезки между соответствующими точками проходят через один центр.

В‑третьих, забывают про ось и построения. Когда в чертеже пропускают проверку: «соответствующие точки и центр должны лежать на одной прямой», легко получить красивый рисунок, но неправильный результат.

В‑четвёртых, ошибаются с коэффициентом на уровне чисел. Например, берут отношение длин, но забывают, что это одна и та же величина для всех направлений: если где‑то «сошлось», а где‑то коэффициент выходит разный, значит построение не гомотетично.

В‑пятых, неверно переносят признаки углов. Главная подсказка гомотетии: углы сохраняются, меняются только размеры. Когда ученик начинает «дорисовывать на глаз» и менять формы, он незаметно ломает условие подобия.

Такие ошибки обычно исчезают, если каждый раз проверять три вещи: где центр, как связаны точки одной прямой и какой один коэффициент работает одновременно для всей фигуры.

17. Масштабы в реальных объектах

Гомотетию удобно представлять через масштабы — то, что встречается каждый день. Когда в атласе указано «1:50 000» или на чертеже написано, например, «масштаб 1:200», это по сути про коэффициент связи между изображением и реальностью.

В школьной геометрии масштаб легко читать как коэффициент, который связывает изображение и реальный объект, даже если на практике он может быть записан по‑разному.

Данные из примеров масштабов в школьной геометрии показывают похожую закономерность: чем меньше первая запись в сравнении, тем сильнее уменьшение; а если наоборот получается, что «вторая запись больше», модель демонстрирует увеличение относительно исходного размера.

Полезная практическая мысль такая: если масштаб уменьшает, то каждая длина на чертеже становится меньше во столько раз, во сколько задан коэффициент. А если масштаб увеличивает, то всё «растёт» пропорционально.

Этот взгляд помогает понять гомотетию не как абстракцию, а как рабочий инструмент. Архитектурные чертежи, карты для туристов, модели зданий и даже макеты в кружках — в основе почти всегда лежит идея подобия: сохранить форму, поменять масштаб одним коэффициентом.

Переход к следующему слайду будет естественным: рассмотрим, как «масштаб» проявляется в самой фигуре — например, в окружности и круге при гомотетии.

18. Окружность и круг при гомотетии

После масштаба логично разобраться, что происходит с окружностью и кругом — ведь они тоже «живут» в преобразованиях.

Сначала — центр и радиус. При гомотетии окружность переходит в окружность: центр смещается по правилу гомотетии относительно заданного центра, а радиус меняется по тому же коэффициенту. Поэтому образ окружности снова будет полностью определён двумя вещами: новым центром и новым радиусом.

Дальше — понятие круга. Круг как область внутри окружности тоже преобразуется в круг: граница становится новой окружностью, а все точки внутри неё оказываются внутри соответствующего нового круга.

Отдельно важно про знак коэффициента. Если коэффициент положительный, соответствующие точки и центр гомотетии раскладываются «по одну сторону» направления. Если коэффициент отрицательный — получится разворот относительно центра: расстояние по модулю уменьшится или увеличится так же, но положение окажется на противоположной стороне. В обоих случаях углы сохраняются, а форму круга гомотетия не «ломает».

И ещё одна полезная деталь: если гомотетия переводит один круг в другой, то прямые от центра гомотетии к соответствующим точкам на границах обязательно сохраняют взаимное расположение. Это помогает проверять решения: построение должно согласовываться для нескольких точек, а не только «для одной красивой точки».

Такая картина упрощает задачи: вместо сложных «рисований» достаточно знать правило работы с центром и радиусом, а затем аккуратно применять один и тот же коэффициент ко всем соответствиям.

19. Мини-проверка понимания свойств гомотетии

Чтобы закрепить свойства гомотетии, полезно сделать небольшую самопроверку: как именно влияет знак и модуль коэффициента.

Свойство, которое стоит держать в голове постоянно: модуль коэффициента определяет изменение размера, а знак — положение образа относительно центра.

Проще говоря, модуль говорит «на сколько во сколько раз» меняются длины, а знак отвечает за то, где окажется изображение — по ту же сторону от центра или по другую.

Если коэффициент по модулю больше единицы, фигуры увеличиваются: соответствующие точки удаляются от центра гомотетии сильнее. Если меньше единицы — уменьшаются: изображение приближается к центру.

А когда коэффициент отрицательный, величины растут или уменьшаются точно так же по модулю, но геометрическая сторона «переворачивается». Это выглядит как смена направления лучей, которые соединяют центр гомотетии с соответствующими точками.

Такая проверка особенно важна при решении задач на построение: стоит ошибиться со знаком, и построенная фигура внешне будет похожа на правильную, но точное соответствие точек нарушится.

Эта идея подводит к финальному обобщению: что именно сохраняется при гомотетии и что меняется.

20. Главные выводы о гомотетии и подобии фигур

Гомотетия и подобие фигур — это способ «сохранять форму при изменении размеров». Главный вывод здесь такой: при гомотетии углы сохраняются, а размеры меняются по одному коэффициенту.

Именно поэтому из одной фигуры можно получить другую, подобную ей: достаточно правильно определить центр и подобрать коэффициент масштабирования. В чертежах и картах это превращается в практичное правило, а в задачах — в понятный алгоритм построения.

Источники

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2019.

Погорелов А. В. Геометрия: учебное пособие для учащихся. М.: Просвещение, 2017.

Мордкович А. Г., Семенов А. В. Алгебра и геометрия: методические рекомендации по решению задач. М.: Просвещение, 2018.

Сборник задач по геометрии: подобие и преобразования плоскости (гомотетия, симметрия, масштаб). М.: Просвещение, 2016.

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Геометрия. — М.: Астрель, 2004.

Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7–9 классов. — М.: Просвещение, 2017.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия: учебник для 7–9 классов. — М.: Просвещение, 2016.

Киселёв А. П. Элементарная геометрия. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1954.