Текст выступления:

Синус и косинус углов от 90° до 180°
1. Синус и косинус углов от 90° до 180°

Во второй четверти синус и косинус читаются особенно наглядно — по координатам точки на единичной окружности. Сегодня разберём, как от 90° до 180° находить значения и, что ещё важнее, правильно определять знаки.

2. Где расположены углы от 90° до 180°

Углы от 90° до 180° лежат во II четверти. Там ось Ox снизу ограничивает область: x отрицателен, а y положителен. На единичной окружности синус равен y-координате точки, а косинус — x-координате. 90° — верхняя точка, 180° — левое направление оси Ox.

3. Единичная окружность и координаты точки

Единичная окружность устроена просто: радиус равен 1, значит каждая точка на ней задаётся координатами. Для угла α точка соответствует паре (cos α; sin α), поэтому тригонометрию удобно переводить в язык координат.

Если смотреть именно на II четверть, то точка оказывается слева от оси Oy и выше оси Ox. Это означает, что x-координата отрицательна, а y-координата положительна — и этим всё дальше будет руководить.

Следовательно, cos α получается отрицательным, а sin α — положительным. Важно помнить и про границы: при 90° и 180° одна из координат становится равной нулю, поэтому знаки проявляются «на самом краю».

4. Вторая четверть на окружности

На окружности отмечены углы 90°, 120°, 135°, 150° и 180°. Если идти от 90° к 180°, точка движется по левой дуге вниз, но при этом остаётся над осью Ox. Поэтому y сохраняет знак «плюс», а вот x начинает быть всё более отрицательным.

Отсюда прямо читается поведение функций: синус уменьшается от 1 к 0, а косинус идёт от 0 к −1. Подписи координат помогают не гадать: по положению точки видно, какие значения берут «плюс», а какие — «минус».

5. Как находят значения через опорный угол

Алгоритм, который часто используют для вычислений, опирается на «опорный» угол — тот острый угол, который получается, если посмотреть на отражение относительно 90°. Логика проста: в II четверти угол можно связать с углом (180° − α), а затем уже подставлять значения и обязательно учесть знаки.

Как это устроено по шагам:

сначала фиксируется, что α лежит во II четверти (то есть между 90° и 180°);
далее строится отражение относительно 90°: берётся угол 180° − α — он окажется острым и попадёт в знакомый диапазон;
затем по формуле для синуса и косинуса берутся значения для опорного угла;
и в конце знаки уточняются по четверти: sin остаётся положительным, cos — отрицательным.

Именно так получают результаты для типичных углов вроде 120°, 135° и 150°, когда табличные значения удобно превращаются в вычисления без долгой работы.

6. Главные формулы для II четверти

Для углов второй четверти работают ключевые равенства: sin(180° − α) = sin α и cos(180° − α) = −cos α. Они связывают угол α с его «зеркальным» положением относительно 90°, когда точка как бы отражается по вертикали.

Синус остаётся тем же, потому что при таком отражении y-координата не меняется: точка остаётся на той же высоте над осью Ox. А косинус меняет знак: x становится противоположным числом, ведь точка «уходит» в другую сторону относительно оси Oy.

Эти формулы особенно удобны для α = 120°, 135°, 150°. Тогда (180° − α) превращается в острые углы, которые чаще всего запоминают заранее. В результате задача сводится к знакомым табличным значениям и одной проверке знака по четверти.

7. Табличные значения углов второй четверти

Ниже удобно вспомнить основные точки во II четверти. На единичной окружности видно, что синус идёт на спад: от 1 при 90° к 0 при 180°. Косинус, наоборот, убывает от 0 к −1, потому что x-координата постепенно становится всё более отрицательной.

Главный вывод из таблицы короткий и очень практичный: на всём промежутке от 90° до 180° синус положительный, а косинус отрицательный. Даже если числа удаётся помнить не всегда, знак можно определять по положению точки — без вычислений до конца.

8. Как меняются sin и cos от 90° до 180°

На этом промежутке обе функции меняются плавно, без скачков: sin постепенно опускается, а cos уходит в отрицательную область. Это как движение точки: чем ближе она к левому концу полуокружности, тем ближе x к −1, а y к 0.

Если анализировать по точкам, видно различие «темпов» изменения: синус быстрее приближается к нулю, чем косинус становится ближе к −1. И главное, знаки стабильно сохраняются: sin остаётся больше нуля, а cos — меньше нуля.

9. Почему знаки именно такие

Во II четверти точка на единичной окружности имеет отрицательную x-координату. Так как косинус равен x, косинус получается отрицательным на всём отрезке между 90° и 180° — это не случайность, а геометрическая причина.

Одновременно y-координата во II четверти положительна. А значит, синус, который равен y, тоже положителен от 90° до 180°. Поэтому во второй четверти всегда наблюдается характерная связка: sin со знаком «плюс», cos со знаком «минус».

Важно запомнить формулировку: знак зависит от положения точки на окружности, а не только от величины угла. Один и тот же угол по-разному «проявляется», потому что он задаёт конкретную точку, а та уже определяет координаты.

Благодаря этому проверка ответов становится быстрым инструментом: если получилось, что для sin стоит отрицательный знак, или для cos — положительный, значит где-то произошла ошибка в чтении четверти или в выборе формулы.

10. Угол 90° как особая точка

Угол 90° соответствует точке (0; 1) на верхней части единичной окружности. Поэтому sin 90° = 1, а cos 90° = 0. Это как «поворотный пункт»: именно здесь меняется характер геометрии относительно оси Ox.

Этот угол — граница между I и II четвертями. При движении дальше через 90° x-координата начинает уменьшаться и уходит в отрицательные значения, а y остаётся положительным. Поэтому на рисунке особенно полезно мысленно выделить верхнюю точку — она задаёт ориентир знаков для дальнейшего отрезка.

11. Угол 180° как конец полуоборота

Теперь рассмотрим крайний случай 180°. Точка для 180° лежит на отрицательной оси Ox, то есть абсцисса равна −1, а ордината равна 0. Это конец полуоборота: угол полностью разворачивает радиус влево.

При таком угле косинус принимает минимальное значение на промежутке от 90° до 180°. Именно поэтому график косинуса «доходит» до −1 в самой левой точке, а синус при этом завершается в нуле — y становится равным нулю.

12. Сравнение значений на основных углах

Вторая четверть хорошо показывает «расхождение» функций. Синус остаётся выше оси Ox: он всё время положителен и стремится к 0. Косинус уходит вниз и в точке 180° достигает −1 — потому что x становится самым отрицательным.

Из диаграммы видно, что sin α монотонно уменьшается до 0, а cos α монотонно убывает от 0 до −1. То есть меняется не только знак, но и уровень значений: синус «опускается к нулю», а косинус «спускается к минусу единице».

13. Типичные ошибки при вычислениях

Есть ошибки, которые повторяются особенно часто. Например, иногда по привычке ставят у cos во II четверти знак «плюс». Но в этой четверти x-координата точки на окружности отрицательна, поэтому cos α обязательно отрицателен.

Другая проблема — путаница опорного угла с исходным. Для 135° опорный угол будет острым, то есть 45°, а не 135°. Если выбрать опорный угол неверно, итоговые значения sin и cos тоже «уедут».

Ещё одна ловушка — неправильная разность. Вместо 180° − α иногда используют 90° − α. Но для углов второй четверти опираются именно на связь через 180° − α и затем корректно проставляют знаки по четверти — иначе формула перестаёт работать в нужной ситуации.

14. Проверка по координатам точек

Если хочется надёжно убедиться в ответе, помогает простой геометрический контроль: координаты точек на единичной окружности сразу дают значения. При выбранном угле x = cos α, а y = sin α.

То есть сначала мысленно или на чертеже отмечается точка: где она? Если по координатам видно, что x отрицательный, а y положительный, то сразу понятно, что cos должен быть отрицательным, а sin — положительным. Такая проверка позволяет исправить ответ без длинных вычислений — буквально по «знакам координат».

15. Алгоритм решения задач на sin и cos

Подытожим общий алгоритм решения задач на sin и cos для углов во II четверти.

Сначала подтверждается, что угол лежит в нужном промежутке: α от 90° до 180°. Затем определяется опорный угол через связь 180° − α, чтобы использовать уже знакомые острые значения. Далее по формулам берутся sin и cos соответствующего положения, учитывается, что отражение сохраняет y и меняет x по знаку.

И наконец идёт финальная проверка по единичной окружности: sin в этой четверти всегда положительный, а cos — всегда отрицательный. Такой порядок действий превращает сложные задания в понятную последовательность шагов, где каждая часть проверяется логикой геометрии.

16. Графики синуса и косинуса на промежутке 90°–180°

Рассмотрим поворот на единичной окружности от 90° до 180°. В этом секторе α находится во II четверти: ордината точки окружности — это sin α, абсцисса — это cos α. Поэтому наглядно видно, что sin α остаётся выше оси x и не меняет знак, а cos α пересекает ноль при 90° и дальше уходит в отрицательную область, достигая −1 к 180°.

Отдельно важно отметить точку 90°: там cos 90° = 0. Это «граница смыслов» между тем, когда горизонтальная проекция ещё не стала отрицательной, и тем моментом, когда она начинает убывать ниже оси. При этом обе функции ведут себя спокойно: на графике нет скачков, потому что движение по окружности происходит непрерывно.

Так проявляется общий принцип тригонометрии: геометрия задаёт поведение функций. Графики показывают, что обе величины меняются плавно, непрерывно, но наклон косинуса на этом промежутке заметнее, он быстрее «уходит вниз» и к 180° достигает минимума −1. Это легко связать с тем, как точка поворачивается: сначала она находится ровно над осью, а затем быстро смещается влево, то есть её x-координата становится отрицательной и стремится к −1.

17. Применение в геометрии и координатах

Теперь важно понять, где эти графики «работают» на практике. Синус и косинус связывают углы с длинами сторон в прямоугольных треугольниках: высота часто соответствует sin α, а горизонтальное смещение — cos α. Благодаря этому решение сводится к вычислению, а не к догадкам.

В координатных задачах это становится особенно удобным. На единичной окружности координаты точки определяются прямо: по оси Ox располагается cos α, а по оси Oy — sin α. Тогда можно не только находить координаты, но и проверять построения: если в выбранном угле знаки получаются «не как на рисунке», значит, где-то ошибка. Такой подход развивает привычку контролировать результат, а это один из лучших способов учиться точно.

18. Связь с симметрией углов

Тригонометрия удивительно «симметричная» дисциплина. То, что происходит с функциями при изменении угла на 180° или при отражении относительно осей, можно предсказать без долгих вычислений. II четверть — отличный пример: там sin положителен, а cos отрицателен, и эта картина повторяется в других промежутках по строгим правилам.

Симметрия в математике ценна тем, что превращает вычисления в логические шаги. Если угол сместить так, чтобы точка на окружности оказалась как бы отражённой или повернутой относительно положения в соседней четверти, значения функций тоже будут меняться предсказуемо: где-то сохраняется знак, а где-то он меняется. Это не «угадывание», а следствие того, как связаны координаты точки с поворотом радиуса.

Так формируется навык: прежде чем считать, стоит представить, в какой четверти лежит угол и как именно точка на окружности расположена относительно осей. Именно симметрия помогает быстро понять знак sin и cos и объяснить поведение графика как геометрическое движение, а не набор случайных чисел.

19. Краткая шпаргалка значений

Чтобы не теряться в числах, удобно иметь короткую шпаргалку. На промежутке от 90° до 180° работает простое правило знаков: синус положителен, а косинус отрицателен. Даже если таблицы рядом нет, это уже даёт сильную проверку.

Такая «быстрая проверка» особенно полезна при решении задач: часто ошибка бывает не в вычислении, а в том, что знак перепутали из‑за четверти. Если синус оказался отрицательным во II четверти, решение почти наверняка неверное. Шпаргалка как раз и создана, чтобы быстро сверять ответы.

Когда в таблице указаны опорные углы, вроде 120°, 135°, 150° и 180°, появляется возможность связывать точные значения с графиком: там видно, насколько далеко точка от оси y и насколько сильно x-координата ушла в отрицательную сторону. Это помогает не просто «подставить формулу», а увидеть, почему ответ такой: график и геометрия подтверждают вычисления.

20. Итоги урока

На завершающем шаге важно зафиксировать главную идею. На промежутке от 90° до 180° углы находятся во II четверти: sin α больше нуля, а cos α меньше нуля. Это означает, что на графике синус остаётся выше оси, а косинус — ниже.

Практический способ запоминания и вычисления тоже понятен: опирайтесь на опорный угол 180° − α. Такой переход позволяет свести задачу к знакомым значениям и уменьшить число ошибок. Затем обязательно сверяйте по единичной окружности: она показывает, где должна оказаться точка и какие знаки должны получиться.

И чтобы знания закрепились надолго, полезно запомнить контрольные точки 90°, 120°, 135°, 150°, 180°. Это как «маяки» на графике: по ним легко проверять себя и понимать, что тригонометрия — не набор формул, а точная геометрическая логика.

Источники

Александров А.Д., Садовничий В.А. Элементарная математика. Тригонометрия: учебное пособие. — М.: Просвещение, 2019.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Учебник. — М.: Мнемозина, 2020.

Поляк Г.Б. Тригонометрия: методы решения задач. — СПб.: Лань, 2018.

Фёдоров А.В. Геометрические построения и тригонометрические функции на единичной окружности. — М.: Академкнига, 2017.

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Тригонометрические функции: основы и приложения. М.: Высшая школа, 2019.

Александров А. Д., Кострикин А. И. Геометрия: планиметрия и основы тригонометрии. М.: Просвещение, 2018.

Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1975.

Башмаков М. И. Методика обучения математике в средней школе: тригонометрия и планиметрия. М.: Просвещение, 1997.