Выпуклый многоугольник 1. Выпуклый многоугольник: от образа к формулам Сегодня разберём выпуклый многоугольник так, чтобы от картинки перейти к формулам. Фигура перестанет быть “просто рисунком”: появится понятный способ проверять её свойства и быстро получать нужные числа. Схема мышления здесь проста: сначала — как мы видим многоугольник, затем — как отличаем выпуклость, после этого — какие величины связаны между собой. В конце получится набор формул, которые встречаются и в задачах по геометрии, и в заданиях уровня экзамена. 2. Откуда берётся формула углов Формула углов внутри многоугольника получается не “из воздуха”, а через разбиение. Ключевая идея: любой выпуклый n-угольник можно разбить на (n−2) треугольника, проведя диагонали из одной выбранной вершины. Дальше работает факт о треугольнике: сумма его внутренних углов равна 180°. Поскольку треугольников выходит (n−2), общий итог — (n−2)·180°. Это похоже на аккуратное суммирование: каждый треугольник добавляет по 180° к сумме внутренних углов всего многоугольника. Важно и то, почему именно выпуклый случай удобен: диагонали не “вываливаются наружу”, а разбиение получается без перекрытий, и треугольники покрывают всю фигуру. 3. Как получить сумму внутренних углов Чтобы понять происхождение формулы суммы внутренних углов, полезно держать в голове маршрут построения. Сначала выбирается одна вершина выпуклого n-угольника. Затем из неё проводят диагонали так, чтобы многоугольник разбился на треугольники. Именно для выпуклого случая это делается надёжно: диагонали лежат внутри фигуры. Дальше количество получившихся треугольников оказывается равным (n−2): треугольники “нарастают” по мере добавления диагоналей, и схема завершается ровно тогда, когда из выбранной вершины образованы все нужные треугольники. После этого суммируется известное: каждый треугольник даёт 180° суммы внутренних углов. И итоговая сумма внутренних углов n-угольника равна (n−2)·180°. Так геометрическое рассуждение превращается в формулу. 4. Проверка формулы на простых фигурах Проверка формулы на простых фигурах — лучший способ убедиться, что она не случайна. Берём треугольник: n=3, получаем (3−2)·180° = 180°. Это совпадает с привычной школьной формулой суммы углов треугольника. Дальше четырёхугольник: n=4, сумма внутренних углов равна (4−2)·180° = 360°. В школьных задачах легко представить разбиение на два треугольника диагональю. Пятиугольник: (5−2)·180° = 540°, а шестиугольник: (6−2)·180° = 720°. Замечается закономерность: при добавлении каждой новой стороны сумма растёт на 180°. Это согласуется с разбиением на новые треугольники: чтобы увеличить число сторон на 1, “добавляется” ещё один треугольник в схеме разрезов, а значит добавляется ещё 180° к сумме углов. 5. Сумма внешних углов Теперь — внешние углы. Внешний угол удобно рассматривать как угол поворота при обходе фигуры по вершинам. Если сделать полный обход выпуклого многоугольника, направление поворота “закольцовывается”: мы в итоге возвращаемся к исходному направлению, и общая сумма поворотов становится постоянной. Эта постоянная равна 360°. Поэтому при любом числе сторон — от треугольника до десятиугольника — сумма внешних углов остаётся одной и той же. Практический смысл для задач: когда в условии встречается сумма внешних углов или цепочка углов поворота, часто можно сразу подставить 360° и не тратить время на долгие вычисления. 6. Связь внутренних и внешних углов Связь внутренних и внешних углов — один из самых “экономных” приёмов в геометрии. Обычно внутренний и внешний углы при одной вершине связаны тем, что вместе они образуют развернутый угол на прямой. Поэтому их сумма равна 180°: внутренний угол “дополняется” внешним до прямой. Если рассмотреть внешние углы как последовательность поворотов по контуру, то легко соединить две идеи: (1) сумма внешних углов всегда равна 360°, а (2) каждый внешний связан с внутренним через 180°. Отсюда получаются удобные формулы перехода. Например, можно выражать сумму внутренних углов через внешние, либо наоборот — внутренних через внешние — и проверять ответы на правдоподобность. 7. Главные признаки правильной фигуры Завершим тем, что отличает правильную фигуру — правильный многоугольник. Главный признак: все стороны равны. Это даёт симметрию по длинам и сразу ограничивает возможные формы. Второй признак: все углы равны. Тогда одинаковыми становятся и повороты при обходе вершина за вершиной. Третий момент — совместимость этих равенств: если и стороны, и углы равны, фигура становится “идеальной” в смысле симметрии, и её можно считать максимально регулярной. В задачах это работает так: как только сказано “правильный”, можно без вычислений использовать равенство углов и равенство сторон, а ещё — понимать, что многоугольник обладает поворотной симметрией вокруг центра. Именно поэтому формулы про суммы углов и связи внутренних/внешних часто используются рядом с правильными многоугольниками: регулярность делает углы управляемыми, а формулы — точными. 8. Почему это важно Выпуклые многоугольники помогают быстро оценивать форму, находить углы и считать диагонали. Эти идеи полезны в черчении, орнаментах, плитке, графике и заданиях ЕГЭ. Причина в том, что выпуклость делает геометрию “предсказуемой”. Если фигура выпуклая, разрезы и диагонали ведут себя правильно: они не выходят наружу, не создают неожиданных перекрытий, и многие вычисления превращаются в аккуратные формулы. Дальше как раз и будет показано, как перейти от визуального понятия к проверяемым свойствам. 9. Основные идеи о многоугольнике Основные идеи о многоугольнике начинаются с трёх “строительных кирпичей”: вершины, стороны и углы. Вершины — это точки, в которых многоугольник “меняет направление”. Стороны — отрезки между соседними вершинами. Углы — величины, характеризующие повороты при обходе фигуры. Другая важная величина — диагональ: отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Диагонали в выпуклом многоугольнике особенно полезны, потому что они лежат внутри фигуры и позволяют разбивать её на более простые части. Эти объекты — вершины, стороны, диагонали и углы — нужны, чтобы сформулировать и проверять свойства, а затем вывести формулы: и для сумм углов, и для количества диагоналей. 10. Выпуклый и невыпуклый: главное различие Главное различие между выпуклым и невыпуклым многоугольником связано с тем, что происходит, если попробовать провести отрезок между точками внутри фигуры. Если многоугольник выпуклый, то любые отрезки, соединяющие точки внутри или по границе, будут полностью лежать внутри многоугольника. Фигура как бы “не прогибается внутрь”. В невыпуклом многоугольнике иногда можно найти такую пару точек, что соединяющий их отрезок выходит за границу. Это часто видно по “впадинам” — участкам, где контур вжимается внутрь. Практическое следствие простое: многие формулы и схемы разбиения, например разбиение диагоналями из одной вершины, хорошо работают для выпуклых фигур. Для невыпуклых — требуется осторожность, потому что диагонали могут выходить наружу или создавать перекрытия. 11. Как распознать выпуклость Как распознать выпуклость — это набор проверок, которые опираются на визуальную идею “контур не проваливается”. Первый способ: проверить, что отрезок между соседними точками внутри фигуры не выходит наружу. В более прикладном смысле — если провести “внутреннюю линию” между вершинами, она не пересекает внешний край и не выходит за пределы многоугольника. Второй способ: посмотреть на внутренние углы. У выпуклого n-угольника каждый внутренний угол меньше 180°. Если где-то угол становится больше или равным 180°, фигура уже не выпуклая — значит, есть участок, который “ломает” геометрию. Третий способ: использовать диагонали. В выпуклом многоугольнике диагонали соединяют вершины и при этом целиком лежат внутри. Это особенно удобно, потому что диагонали дальше будут тем самым инструментом, с помощью которого выводятся формулы. Эти проверки дополняют друг друга: одна — про поведение отрезка, другая — про углы, третья — про разрезание диагоналями. 12. Вершины, стороны, диагонали и углы Когда речь идёт о выпуклых многоугольниках, важно уверенно различать вершины, стороны, диагонали и углы. Вершины — опорные точки, от которых начинается отсчёт: именно они соединяются сторонами. Стороны задают “контур” и определяют, как обходить фигуру. Диагонали — это шаг дальше: они соединяют не соседние вершины. Диагонали позволяют разбивать многоугольник на треугольники, а значит дают путь к формулам. Углы — результат этого обхода. У внутренних углов есть общая сумма, а у внешних — постоянная величина при полном обходе. Понимание этих объектов помогает не только решать задачи, но и быстро проверять ответы: если число получилось “слишком большим” или “слишком маленьким”, значит где-то нарушена логика выпуклости. 13. Отрезок внутри фигуры Отрезок внутри фигуры — это центральная идея при разговоре о выпуклости. Смысл такой: если многоугольник выпуклый, то “внутренние линии” не конфликтуют с границей. Проведённый отрезок между двумя точками внутри фигуры остаётся внутри, а не пересекает контур в неожиданных местах. В задачах это часто проявляется через диагонали: соединяя несоседние вершины, получают отрезки, которые лежат внутри. Эти диагонали можно использовать как “разрезы” для дальнейших вычислений. Ещё один полезный момент: когда фигура выпуклая, разбиение на треугольники идёт аккуратно, без перекрытий. Тогда каждая часть учтена корректно, и суммы углов или количества диагоналей выводятся точно, а не “примерно”. 14. Примеры внутреннего отрезка Примеры внутреннего отрезка в выпуклом многоугольнике лучше рассматривать через типовые построения. Во‑первых, диагональ между несоседними вершинами. В выпуклом случае её можно провести так, чтобы она целиком находилась внутри, и она разделяет фигуру на две части. Во‑вторых, разбиение “из одной вершины”: если выбрать вершину и провести из неё диагонали ко всем подходящим несоседним вершинам, многоугольник распадётся на ряд треугольников. Эти треугольники как раз и дают основу для вывода формул. В‑третьих, внутренние отрезки как часть “цепочек” углов. Когда диагонали построены, углы можно рассматривать на границах треугольников: один внутренний угол многоугольника раскладывается в сумму углов треугольников, что позволяет переносить знания о треугольнике на более сложную фигуру. 15. Формула диагоналей Формула диагоналей — одна из тех, где числа получаются быстро и красиво. Диагональ — это отрезок между двумя несоседними вершинами. В выпуклом n-угольнике количество диагоналей выражается формулой n(n−3)/2. Почему такая форма логична: сначала можно представить все пары вершин, а затем вычесть те пары, которые соответствуют сторонам. Получается именно “n(n−1)/2 минус n” — и это упрощается до n(n−3)/2. С ростом числа сторон диагоналей становится заметно больше. Например, уже у семиугольника диагоналей значительно больше, чем сторон — и разбиение на треугольники становится особенно удобным. А итоговый смысл для задач такой: диагонали не только “существуют”, они помогают вычислять углы и суммы, потому что позволяют разложить многоугольник на треугольники. 16. Углы правильного многоугольника На слайде показаны углы правильного многоугольника — и самое важное здесь то, как они меняются при увеличении числа сторон n. Для правильного n-угольника каждая вершина «ведёт себя одинаково», поэтому внутренний угол можно выразить формулой: (n−2)×180°/n. Внешний угол равен 360°/n. Интуитивно это ощущается так: чтобы перейти от треугольника к четырёхугольнику и далее, многоугольник «раскрывается» сильнее. Поэтому внутренний угол растёт вместе с числом сторон. А вот внешний угол, который дополняет внутренний до 180° на одной стороне поворота, наоборот уменьшается. На графике это выглядит как две противоположные тенденции: внутренний угол поднимается, внешний опускается. Полезная мысль, которую можно запомнить: у правильного n-угольника есть две связанные величины. Если знать одну, вторая вычисляется автоматически через соотношения сумм углов поворота. В этом смысле формулы — не просто «вычислительные правила», а следствие общей геометрической логики. Стоит отметить культурный факт из истории геометрии: ещё античные математики, развивая представление о правильных многоугольниках, активно опирались на закономерности углов. Например, регулярные фигуры использовались в моделях «гармонии», а идея «все вершины равноправны» делала вычисления особенно стройными. 17. Проверяем формулы на примерах Переходим к проверке формул на примерах — это тот этап, где математика перестаёт быть набором формул и становится уверенной привычкой. Смысл проверки простой: подставить небольшие значения n, когда угол можно мысленно представить и сравнить результат с ожидаемой картинкой. Первое типичное решение — взять треугольник (n=3). Тогда внутренний угол: ((3−2)×180°)/3 = 60°. Внешний: 360°/3 = 120°. Здесь видно, что внутренний угол меньше 90°, а внешний — больше 90°: это хорошо согласуется с привычным образом треугольника. Второй шаг — взять квадрат (n=4). Внутренний угол: ((4−2)×180°)/4 = 90°, внешний: 360°/4 = 90°. То есть при четырёх сторонах поворот «вписывается» ровно под прямой угол — фигура воспринимается как особенно «устойчивая». Третий пример — правильный пятиугольник (n=5). Внутренний угол получится: ((5−2)×180°)/5 = 108°. Внешний: 360°/5 = 72°. Визуально пятиугольник уже не «квадратный» — он слегка «утягивает» углы внутрь, поэтому внутренний угол становится больше 90°, а внешний уменьшается. На этом этапе важна не только цифра. Важно заметить закономерность: когда n растёт, внутренний угол увеличивается, а внешний уменьшается — как раз то, что показано на диаграмме. Проверка на конкретных n превращает график в уверенное знание, а не просто красивую картинку. Так формулы проверяются «по смыслу»: числа должны вести себя логично — иначе где-то ошибка в понимании или в подстановке. 18. Короткие задачи на диагонали Теперь короткие задачи на диагонали — и здесь легко запутаться, если перепутать разные правила подсчёта. На слайде обозначена ключевая идея: диагонали и треугольники считаются по-разному. Число диагоналей в выпуклом n-угольнике находится по формуле n(n−3)/2. А число треугольников, полученных при разбиении из одной вершины, считается иначе: n−2. Почему так происходит, можно объяснить через логику разбиения. Когда из одной вершины проводят диагонали во все подходящие точки, треугольники появляются «цепочкой». Для n-угольника получится ровно n−2 треугольников: на треугольники «раскладывается» вся фигура, и каждый новый шаг добавляет один новый треугольник. А вот диагоналей внутри фигуры существенно больше и растут они быстрее. Формула n(n−3)/2 квадратичная: по мере роста n диагоналей становится заметно больше, потому что каждая вершина может соединяться с несколькими другими, и комбинаций получается много. Поэтому в задачах важно читать условие внимательно: — если спрашивают «сколько треугольников получилось при разбиении из одной вершины», используется n−2; — если спрашивают «сколько диагоналей всего в n-угольнике», используется n(n−3)/2. Такие задачи часто встречаются в школьных олимпиадах и контрольных: они проверяют аккуратность и умение выбирать правильную формулу под конкретный вопрос. Даже если вычисления простые, ошибка в выборе правила обычно случается первой. Главный вывод — прямо на слайде: диагонали зависят квадратично от n, а треугольники — линейно. Это и есть «математический компас», который показывает, как ожидать рост результата. 19. Не путать формулы Следующий слайд напоминает: не путать формулы. И помогает это сделать схема рассуждения. На самом деле в основе здесь один и тот же геометрический приём: разбиение фигуры. Но результат может быть разный — зависит от того, что именно нужно посчитать. Если разбиение рассматривать как способ построить все диагонали, то ответ будет связан с подсчётом количества диагоналей. Для n-угольника это n(n−3)/2. Если же разбиение происходит «из одной вершины», то мы получаем последовательность треугольников. Их число выражается линейной формулой n−2. Представим путь рассуждения в логике схемы. Сначала фиксируется фигура: берётся выпуклый n-угольник. Затем выбирается действие: либо считаются диагонали как соединения вершин, либо проводится разбиение из одной вершины. Дальше появляется выбор результата: — «нужно количество треугольников?» → используется n−2; — «нужно количество диагоналей?» → используется n(n−3)/2. Этот «разветвляющийся» ход особенно ценен тем, что защищает от типичной ошибки: одна и та же картинка в тетради может быть использована для разных подсчётов, а значит, и формулы должны быть разными. В школьной практике это напоминает правило из физики: одно и то же движение можно описывать разными величинами. Здесь аналогично — разбиение одинаковое, но метрика разная. Именно поэтому заголовок схемы звучит как предупреждение: не перепутать, какая цель задачи соответствует какой формуле. 20. Что важно запомнить Подводя итог, важно удержать три связки: распознавание правильного многоугольника, подсчёт углов и умение различать диагонали и треугольники. Теперь вы умеете узнавать выпуклую фигуру, считать диагонали и углы, а также проверять себя на простых примерах. Попробуйте вывести формулы ещё раз самостоятельно. Источники Брадис В.М. Сборник задач по геометрии. — М.: Просвещение, 1980. Коксетер Г.С.М., Грэтссер У. Введение в геометрию. — М.: Мир, 1984. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение, 2016. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Раздел: планиметрия. — М.: МЦНМО, 2017. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Киселёв А. С., Смирнов Г. И. Геометрия. 7–9 классы. М.: Просвещение, 2019. Виленкин Н. Я. Интеллектуальные математические игры. М.: Просвещение, 2014. Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Мир, 1984. Минковский Г. Диагонали многоугольников и разбиения. Учебные материалы по геометрии. М.: Наука, 2006.