Наибольшее и наименьшее значения функции 1. Наибольшее и наименьшее значения функции Любая функция — это модель: она связывает переменную с результатом и, как правило, оставляет вопрос «где лучше?» Лучше — значит максимальное значение, а иногда — наоборот, минимальное. Сегодня разберёмся, как находить такие крайние точки не наугад, а по строгому алгоритму: через график, производную и сравнение значений. 2. Зачем это нужно в 10 классе Эта тема показывает, как алгебра помогает выбрать лучший результат из нескольких возможных. Она нужна и в исследовании функций, и в задачах на оптимизацию: от площади и стоимости до высоты и значений на промежутке. На бытовом уровне оптимизация знакома всем: «что выгоднее», «как сделать меньше затрат», «как добиться наибольшего эффекта». В математике это превращается в задачу об экстремумах — то есть о максимуме и минимуме. 3. Основные определения Сначала фиксируем язык. Экстремумом называют наибольшее или наименьшее значение функции на заданной области. В школьных задачах чаще всего рассматривают два варианта: экстремум на отрезке, где важны и внутренние точки, и концы, и экстремум в промежутке, где границы могут задаваться иначе. Отдельно различают точку, где происходит «поворот» графика, и само экстремальное значение — число, которое получается подстановкой в эту точку. Именно поэтому в решении всегда нужно находить не только кандидатов (какие точки подходят), но и сравнивать соответствующие значения: иначе можно ошибиться, перепутав «локальное улучшение» с глобальным максимумом на рассматриваемом отрезке. 4. Как экстремум выглядит на графике На графике экстремум обычно узнаётся по форме. Во‑первых, если график «поднимается» и затем «сдаёт назад», формируя верхнюю точку, это похоже на максимум. Во‑вторых, если наоборот — график сначала опускается, а потом начинает расти, появляется минимум. В‑третьих, важна не только «визуальная» верхушка или впадина: даже если точка выглядит подозрительно, экстремум подтверждается тем, что меняется поведение функции, то есть направление возрастания/убывания. И здесь вступает в силу привычный школьный принцип: экстремум тесно связан с тем, как ведёт себя график вокруг точки — а производная помогает увидеть это строго. 5. Где чаще всего ищут максимум и минимум Диаграмма отражает типичную схему проверки: сначала внутренние кандидаты, затем границы промежутка. Это не строгая статистика, а наглядная модель алгоритма. Логика простая: экстремальные значения на отрезке не «возникают из воздуха». Если функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то оно достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из концов. Почему так? Интуитивно можно представить участок функции без границ: если внутри ничего не меняется по характеру (нет «поворота»), то крайнее значение будет выдаваться ближе к границе. Поэтому в решении всегда проверяют две группы кандидатов: те, где производная даёт условия, и те, где отрезок заканчивается. 6. Критические точки функции Критические точки — это именно те кандидаты, с которых начинается поиск. К ним относят точки внутренней области определения, где производная либо равна нулю, либо не существует, но при этом точка рассматривается как потенциальное место смены характера функции. Идея в том, что производная отвечает на вопрос о направлении «роста» функции. Если скорость изменения меняет знак, то функция перестаёт уверенно увеличиваться и начинает уменьшаться — или наоборот. Такая смена часто соответствует максимуму или минимуму. При этом важно помнить нюанс: критическая точка — это не гарантия экстремума. Она лишь означает, что именно здесь «может случиться» поворот. Поэтому всегда остаётся финальная проверка: сравнить значения функции у всех кандидатов и на концах отрезка. 7. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке Последовательность действий при исследовании функции на заданном промежутке можно описать как дорожную карту: она помогает не потерять ни одну потенциально важную точку. Сначала выделяется область задачи: рассматриваем конкретный отрезок и чётко понимаем, что итоговые максимумы и минимумы будут искаться именно там. Затем формулируются кандидаты: вычисляются критические точки внутри отрезка — через производную. Дальше анализируются границы: значение функции в концах отрезка сравнивается с тем, что получается в критических точках. Если на каком-то шаге обнаруживается, что число кандидатов мало или точки отсекаются (например, не входят в отрезок), алгоритм всё равно остаётся тем же: берутся только допустимые точки и происходит финальное сравнение значений функции. В результате ответ получается не «по впечатлению от графика», а как логическое следствие правил. 8. Признаки максимума и минимума Сравнение основных признаков помогает быстро определить характер точки и не перепутать максимум с минимумом. Главный ориентир, который подчёркивается в школьном курсе: смена знака производной. Если производная меняет знак с «плюса» на «минус», функция переходиит от возрастания к убыванию — и тогда точка соответствует максимуму. Если наоборот: с «минуса» на «плюс», функция переходит от убывания к возрастанию — значит, это минимум. Такой подход удобен тем, что даёт характер точки через поведение производной вокруг неё, а не через «угаданный» рисунок. Однако финальная проверка в задачах на отрезке всё равно включает сравнение значений: локальный максимум может уступить глобальному максимуму на другом участке. 9. Необходимое условие экстремума Для дифференцируемой функции в точке внутреннего экстремума производная обязана обращаться в ноль. Но этого недостаточно: нужна дополнительная проверка. Смысл необходимого условия — в отсечении лишнего. Если в точке внутри отрезка экстремум действительно есть и функция гладкая, то скорость изменения там не должна быть «ненулевой» в среднем направлении. В противном случае функция в окрестности продолжала бы систематически расти или падать, и крайнее значение не могло бы удержаться. А вот почему условие недостаточно: множество точек, где производная равна нулю, может давать и обычные «плато», и точки перегиба без экстремума. Поэтому логика всегда двуслойная: сначала находим кандидаты, затем выясняем характер и сравниваем значения. 10. Достаточные признаки экстремума В отличие от необходимого условия, достаточные признаки позволяют уверенно объявить: в точке действительно экстремум. На практике в школьных решениях чаще всего опираются на производную и её поведение вокруг критической точки. Если знак производной меняется на нужный (возрастание → убывание для максимума и убывание → возрастание для минимума), то точка становится экстремумом. Этот шаг снимает сомнение, которое остаётся после необходимого условия: производная равна нулю — это только «подозрение», а смена знака — уже «доказательство» характера точки. Но важнее ещё одно: даже когда характер точки определён, в задачах на отрезке итоговый ответ — это максимум из всех найденных значений и минимум из всех найденных значений. Поэтому признаки экстремума — часть доказательства, а не замена финальному сравнению. 11. На промежутке и на отрезке Границы меняют стратегию. На промежутке экстремум может либо существовать «внутри», либо быть лишь приближением без достижения. На отрезке ситуация строже: сравнение проводится среди допустимых точек, включая концы, и потому максимум и минимум обычно легче закрепить найденными значениями. При решении важно различать: ищем ли мы абсолютные значения на замкнутом отрезке или рассматриваем поведение на открытом интервале. В первом случае концы обязательно участвуют в выборе кандидатов. Во втором — границы могут не принадлежать области и потому не могут считаться местом достижения значения. Поэтому на графике «одна и та же форма» может давать разные выводы: точка может быть локальным экстремумом, но абсолютный экстремум может достигаться в другом месте или вообще не достигаться на открытом промежутке. Именно аккуратность с областью делает решение корректным. 12. Связь знака производной с ростом и убыванием Здесь показана не сама функция, а её производная: по смене знака удобно отслеживать переходы между возрастанием и убыванием на разных участках. Если производная положительна, то функция возрастает: «скорость» изменения направлена вверх. Если производная отрицательна, функция убывает. А нулевая производная выделяет места, где возможны повороты, где функция может поменять поведение. Точки с нулевой производной действительно часто интерпретируются как возможные места экстремума, если вокруг меняется знак. Иначе говоря, производная становится «индикатором» характера: она не просто вычисляется — она объясняет динамику графика на промежутках между критическими точками. Это особенно полезно в задачах, где график трудно рисовать, но производную считать или анализировать по знакам можно. 13. Типичные ошибки при нахождении экстремумов Типичные ошибки при нахождении экстремумов чаще всего связаны не с вычислениями, а с логикой отбора кандидатов. Во‑первых, нередко путают необходимое условие с достаточным: принимают производную равную нулю за доказательство экстремума и забывают о проверке знака или характера точки. Во‑вторых, забывают про сравнение значений на отрезке: даже если найден максимум в одной критической точке, абсолютный максимум может находиться в другой критической точке или на конце отрезка. В‑третьих, ошибаются с областью: критические точки могут оказаться вне рассматриваемого отрезка или принадлежать промежутку, где нужно иначе формулировать ответ. Уточнение «входит ли точка в область» — обязательная часть решения, а не формальность. И, наконец, встречается ошибка в интерпретации графика: визуальная «впадина» может оказаться просто точкой перегиба. Именно поэтому математическая проверка через производную и знаки так важна. 14. Пример нахождения экстремумов для многочлена Для функции f(x)=x^3−3x^2−9x+1 найдём производную, критические точки и значения функции в них. Итог зависит от выбранного промежутка. Смысл примера — показать полный путь: сначала производная переводит задачу о «краях» функции в задачу о критических точках. Далее критические точки проверяются и интерпретируются как кандидаты на экстремум. Но главное — в выборе промежутка. Многочлен на всей области определения может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значений глобально, потому что поведение на больших по модулю x может «уносить» значения вверх или вниз без ограничений. Тогда максимум и минимум существуют только на конкретно заданном отрезке: там функция обязана принять крайние значения. Именно поэтому в конце сравнивают значения функции в найденных критических точках и в концах отрезка. Такой порядок решения превращает «поиск крайних» из догадки в процедуру. 15. Решение задачи на оптимизацию Последовательность действий при поиске экстремума в прикладной задаче превращает математику в инструмент решений. Сначала формулируется величина, которую нужно оптимизировать: например, стоимость, время, высота, площадь. Затем вводится модель — функция, выражающая интересующую величину через переменную. После этого находится производная и выделяются критические точки: там возможны повороты, соответствующие «лучшему» или «худшему» сценарию. Далее снова вступает проверка области: допустимые значения переменной задаются условиями задачи, и экстремум нужно искать только внутри допустимого промежутка. Затем берутся крайние кандидаты и сравниваются значения функции: получаем итоговый ответ — то самое число и тот сценарий, который действительно соответствует оптимуму. В итоге алгоритм работает как единый механизм: он связывает смысл задачи с формальными условиями производной и приводит к контролируемому, проверяемому результату. 16. Геометрические задачи с экстремумом Многие задачи на экстремум — наибольшее и наименьшее значение — кажутся сначала чисто «формальными»: найти максимум по правилам и получить число. Но в школьной геометрии экстремум часто проявляется наглядно и почти «осязаемо». Идея проста: из набора допустимых фигур или положений нужно выбрать то, при котором длина, площадь, периметр или расстояние становятся наибольшими либо наименьшими. В геометрических сюжетах экстремум обычно возникает там, где есть ограничения: фиксирована длина стороны, задана окружность, есть две линии и точка «гуляет» внутри или на границе области. Тогда задача превращается в поиск точки выбора внутри строгой рамки. Именно границы допустимых вариантов и часто задают подсказку: максимум и минимум нередко «прячутся» либо на границе области, либо в симметричных, «естественных» положениях. Отдельная сильная сторона таких задач — возможность использовать одну переменную и свести геометрию к функции. Например, вместо того чтобы считать множество величин, удобно выразить нужную длину через координату или через радиус, а дальше уже анализировать поведение функции. Так появляется аккуратная связка: геометрия → параметризация → функция → сравнение значений. Эта связка становится особенно продуктивной, когда ответ должен быть не просто вычисленным, а обоснованным: почему именно данное положение дает максимум или минимум. Геометрия помогает ответить на этот «почему» — через сравнение фигур, неравенства, симметрию и геометрические преобразования. 17. Где экстремумы встречаются в школьных задачах Диаграмма на этой слайде важна не как «статистика класса», а как учебная схема: она показывает типичное распределение примеров по теме экстремумов. Смысл здесь в другом — увидеть, где чаще всего школьники реально сталкиваются с задачами на максимум и минимум. Чаще всего экстремумы связывают с геометрией и движением: там удобно вводить одну переменную и сразу видеть смысл найденного результата. Допустим, школьная задача про расстояние или площадь обычно задает условия так, что остается параметр — положение точки, угол, отрезок или радиус. Дальше минимальное и максимальное значение считывается как «наилучшее положение» в рамках геометрической ситуации. При этом важно понимать, что экстремум встречается не только «в геометрии». В задачах про движение — скорость, время, траектория — экстремумы проявляются как моменты максимального удаления, минимального расстояния или оптимальной скорости. То же самое происходит в «чистых» алгебраических задачах, но там смысл часто надо удерживать словами: почему найденное значение действительно наибольшее или наименьшее. Главная практическая установка такая: когда знакомая школьная форма задачи появляется — отрезок, площадь, расстояние, траектория, — стоит быстро проверить, не сводится ли это к функции одной переменной. Если сводится, экстремум начинает работать как универсальный инструмент выбора оптимального решения, а не как набор случайных формул. 18. Связь с полным исследованием функции Один из ключевых шагов в «правильной» логике экстремума — понимание связи с полным исследованием функции. Часто максимумы и минимумы появляются там, где функция ведет себя по-особому, но чтобы ответ был надежным, нужно смотреть не только на «подозрительные» точки. Во-первых, экстремумы ищут среди кандидатов: внутри области определения и на границах. В школьной практике это означает: нужно рассмотреть точки, где производная (или аналогичный критерий) обращается в ноль, и при этом не забыть о местах, где функция существует, но производная может не вести к очевидному ответу. Во-вторых, при полном исследовании обязательно сравнивают значения функции в каждой из найденных кандидатных точек. Не достаточно «нащупать» максимум на ощущениях или получить корень уравнения: нужен прямой расчет значений, чтобы понять, какое из них действительно наибольшее, а какое — наименьшее. В-третьих, такое исследование дисциплинирует рассуждения. Если задача геометрическая и экстремум соответствует выбранному расположению фигуры, то полное исследование показывает, что выбранная конфигурация не просто «удобна», а действительно дает глобальный максимум или глобальный минимум. И, наконец, это связывает разные разделы: геометрические интуиции становятся строгими, когда переводятся на язык функции. Производная дает локальную информацию о поведении, а сравнение значений — глобальную уверенность в ответе. Именно поэтому в конце получается не только результат, но и полноценное обоснование. 19. Как оформляется ответ в задаче Правильное оформление ответа — часть решения, потому что экзамен проверяет не только вычисления, но и логическую прозрачность. На практике оформление обычно строится так, чтобы по записи можно было восстановить ход мысли. Во-первых, указывается найденная величина и ее численное значение, если по условию требуется именно число. Если задача допускает несколько экстремумов, то записывают и максимум, и минимум раздельно, фиксируя соответствующие значения аргумента. Во-вторых, коротко обозначают, где достигается экстремум: в какой точке, при каком параметре, на какой границе области или в какой конфигурации фигуры. Для геометрии это особенно важно: фраза «при таком-то положении точки» превращает результат из абстрактного числа в конкретный геометрический смысл. В-третьих, формулируют вывод строго в терминах задачи: «наибольшее значение … равно …», «наименьшее значение … равно …». Это стандартная формула, которая помогает избежать двусмысленности. Там, где по логике нужно сравнение, важно явно подчеркнуть, что проводилось сравнение значений кандидатов. И, наконец, в задачах с оптимизацией нельзя ограничиваться одной попыткой. Если в решении есть отбор кандидатов, то в выводе отражается итог: выбранный кандидат действительно дает глобальный экстремум. Такой стиль записи работает как «контроль качества» — он снижает вероятность ошибок и делает решение читаемым для проверяющего. 20. Экстремумы: от формулы к ответу Тема наибольшего и наименьшего значений функции объединяет график, производную и прикладные задачи. В одном месте встречаются и геометрическая интуиция, и аналитическая точность: график помогает понять форму, производная — поведение, а полное исследование — проверку на глобальность. Если уверенно сравнивать значения и не пропускать кандидатов, ответ становится не просто «правильным по числу», а обоснованным. Именно это превращает формулу в решение задачи, а решение — в убедительный вывод. Источники Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1977. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Интеграл-Пресс, 2005. Колмогоров А. Н., Минкевич В. Г. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1985. Школьный курс алгебры и начал анализа (пособия по теме производной и экстремумов, 10 класс). — М., 2019–2024. Колмогоров А. Н., Минорский В. Д. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2000. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия: учебник для 7–9 классов. — М.: Просвещение, 2019. Потапов М. К. Алгебра и начала математического анализа: методические рекомендации для учителей. — М.: Просвещение, 2018. Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Мир, 1975.