Углы с вершинами внутри и вне круга 1. Углы с вершинами внутри и вне круга Центральные, вписанные, внутренние и внешние углы: их величины читаются по дугам окружности. 2. Почему это важно в 10 классе В 10 классе окружность перестаёт быть «геометрией на рисунке» и становится инструментом доказательств и вычислений. Этот материал опирается на свойства окружности, хорд, секущих и касательных. Углы здесь уже не просто измеряются — их «считывают» с дуг, часто быстро и точно, прямо из конструкции. Почему это важно именно сейчас? Потому что задания начинают требовать не одно вычисление, а цепочку переходов: распознать тип конфигурации, понять, какие дуги участвуют в формуле, и аккуратно завершить вывод. В этом разделе особенно видно, как логика опирается на геометрическую структуру: дуги задают язык, на котором окружность «говорит» о величинах углов. 3. Основные элементы окружности Чтобы работать с углами уверенно, нужно держать в фокусе весь набор «строительных блоков» окружности. Окружность и её центр — база: центр задаёт радиусы, а значит, и симметрию, которая часто прячется в рассуждениях. Хорда — отрезок, соединяющий точки окружности. Именно хорды формируют углы при пересечениях и дают дуги, связанные с ними. Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух точках. Её роль — «врезаться» в окружность и создать две точки выхода, а вместе с ними — две дуги. Касательная — прямая, которая касается окружности в одной точке. Касательная особенно важна в задачах с вершиной вне круга: там возникает внешний угол, и формула включает разность дуг. Дуга окружности — «мерило» угла. Почти все формулы сводятся к тому, что угол равен половине дуги (для базового случая) или половине суммы/разности дуг (для внутренних и внешних конфигураций). Хорошая привычка на старте решения: мысленно подписать на рисунке дуги и заранее решить, одна дуга будет работать или сразу две. 4. Вписанный угол как исходное правило Угловые формулы часто кажутся набором правил, но старт у них один. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поэтому, если опорная дуга 100°, то угол составляет 50°. Аналогично, при дуге 76° получаем угол 38°. Это свойство служит «механизмом» вывода формул для случаев, когда вершина угла находится внутри или вне круга. Как только начинаем рассматривать не один «опорный» луч, а две хорды или комбинацию секущей и касательной, задача становится похожей на разбор составного выражения. В таких конфигурациях удобно раскладывать ответ через сумму или разность вписанных углов — и, соответственно, через суммы или разности дуг. На практике это означает: сначала ищется базовая теорема о вписанном угле, затем через вертикальные углы и подходящие вписанные углы находятся нужные дуги, и лишь потом выполняются вычисления. Геометрия здесь ведёт себя как алгебра: структура важнее цифр. 5. Сравнение формул для углов окружности Сравнение формул почти всегда сводится к одному ключевому шагу: не пытаться «угадывать» угол по надписи на рисунке, а переводить задачу к дугам окружности и делить нужную комбинацию на 2. Во всех четырёх типах ключевой математический шаг один: переводим задачу к дугам окружности и делим нужную комбинацию на 2. Но формулы различаются не множителем, а тем, что происходит внутри скобок: складывается или вычитается. Отличие формул — не в множителе, а в том, что складывается или вычитается: сумма для внутреннего угла и разность для внешнего. Именно поэтому на контрольных и в олимпиадных задачах так важно не «просто применить» формулу, а сначала честно определить тип вершины: внутри или вне круга. Ошибка в этом выборе почти гарантированно порождает неверный знак в разности дуг и даёт неправильный результат — даже если все остальные шаги сделаны аккуратно. 6. Угол с вершиной внутри круга Когда вершина угла расположена внутри окружности, чаще всего работает идея пересечения хорд. Смотрим на картину: две хорды пересекаются внутри круга, и тогда угол определяется через дуги, связанные с концами хорд. Если две хорды пересекаются внутри окружности, то угол равен половине суммы дуг, на которые он и вертикальный ему угол опираются. 84° и 56° — это как раз те две дуги, которые в сумме дают «общий угловой вклад» в величину внутреннего угла. При сложении этих дуг и делении суммы пополам получается искомая величина внутреннего угла. Замечание практического характера: внутренний угол в этой ситуации тесно связан с вертикальным углом. Вертикальные углы равны, а значит, одну и ту же геометрическую информацию можно прочитать дважды — и это удобно для проверки себя. Часто правильность решения можно быстро подтвердить через симметрию вертикальных углов, ещё до того как завершены все вычисления. 7. Как устроен внутренний угол при пересечении хорд Разберём внутреннюю конфигурацию методически, чтобы не теряться, когда на рисунке появляется «пересечение и четыре угла». При пересечении двух хорд внутри окружности появляется четыре угла и две пары вертикальных. Каждый внутренний угол связан с двумя дугами, которые лежат напротив него и задают его величину. Это похоже на ситуацию, когда одно и то же событие можно описать разными способами: разные углы смотрят на разные дуги, но геометрическая «сумма данных» остаётся той же. Чем больше сумма этих дуг, тем больше сам угол. Важно понимать роль точки пересечения: она не принадлежит окружности, но «управляет» углом через дуги, определяемые хордами. И здесь есть хороший интеллектуальный ориентир: точка пересечения управляет, но не «сама» задаёт дуги. Дуговую информацию задают именно хорды и их точки на окружности. Поэтому в решении полезно каждый раз возвращаться к окружности: какие именно точки определяют дуги, и какие лучи опираются на эти дуги. 8. Типичные случаи для внутреннего угла Сводка самых частых конфигураций с вершиной внутри круга помогает действовать дисциплинированно. Важно помнить не «много формул», а один принцип: в каждом случае работает идея суммы дуг, а вертикальные углы равны. Ключевое правило неизменно: при вершине внутри круга используется сумма соответствующих дуг, а разность не применяется. Как это превращается в устойчивую технику решения? Во-первых, распознаётся точка вершины: она внутри — значит, ищем две дуги, которые «смотрят» на угол. Во-вторых, объединяем эти дуги суммой. В-третьих, делим результат на 2. Если придерживаться такой последовательности, решение становится предсказуемым. Геометрия перестаёт быть азартным угадыванием и начинает напоминать хорошо организованный алгоритм. 9. Пример вычисления внутреннего угла Теперь пример — тот типичный формат, где легче всего почувствовать механику формулы. Здесь видно, что угол не вычисляется «по одной дуге»: он определяется сразу двумя дугами, связанными с пересечением хорд. Пошаговый порядок действий прост: сложить две дуги и разделить сумму на 2 — получится величина внутреннего угла. Чему учит такой пример помимо вычислений? Он демонстрирует «картину смысла»: угол внутри круга — это не одиночная дуга, а результат взаимодействия двух дугов, связанных с концами пересекающихся хорд. Именно поэтому даже в задачах без очевидных чисел удобно начинать не с арифметики, а с поиска дуг: что за два интервала по окружности соответствуют рассматриваемому углу, и как они соединяются в формуле. 10. Угол с вершиной вне круга Переходим к противоположной геометрической ситуации: вершина вне окружности. Здесь меняется логика — и появляется разность дуг. Если две секущие, секущая и касательная или две касательные пересекаются вне окружности, вершина угла находится снаружи. Тогда угол выражается через разность дуг, соответствующих его сторонам. Это не просто «другая формула ради разнообразия». Внешний угол фактически измеряет, насколько одна дуга больше другой относительно стороны угла — поэтому в записи появляется вычитание. Формула записывается как ∠ = 1/2(большая дуга − меньшая дуга). Например, при дугах 150° и 70° получаем внешний угол 40°, потому что 150° − 70° = 80°, а половина равна 40°. Вершина лежит вне круга, а стороны угла либо пересекают окружность (секущие), либо касаются её (касательные). Именно поэтому в формуле появляется вычитание, отражающее «разницу дуговых вкладов». На уровне навыка полезно каждый раз проводить мысленную проверку: какие дуги «ограничивают» угол с двух сторон, и какая из них соответствует большей стороне. Ошибка с «большей» и «меньшей» — одна из самых распространённых, и она практически всегда приводит к неверному углу из-за неверного знака в разности. 11. Распознавание внешнего угла в задаче Чтобы уверенно применять формулу для внешнего угла, нужно уметь распознавать условие «вершина вне круга» и тип сторон угла. Вершина вне круга и стороны угла проходят через окружность или касаются её. Процесс распознавания можно описать как последовательность шагов. Сначала определяем геометрическую позицию вершины: она должна находиться снаружи окружности. Затем смотрим на стороны угла: если сторона — секущая, то она пересекает окружность в двух точках; если сторона — касательная, то она касается окружности в одной точке. После этого появляется ключевое понимание: внешнему углу соответствует разность дуг, потому что угол «собирается» не полной дугой, а разницей ограничений. Итоговая цель такого алгоритма — не подставлять числа вслепую, а быстро классифицировать задачу и сразу выбрать правильную операцию: сумма или разность. Внешний угол — почти всегда «история про вычитание» дуг. 12. Касательная и секущая вне круга Особенно показателен случай, когда в одной задаче сочетаются касательная и секущая, проведённые из одной внешней точки. Рассматривайте угол между касательной и секущей, проведёнными из внешней точки. Он равен половине разности соответствующих дуг, которые «ограничивают» этот угол. Это формулировка не только для запоминания: она объясняет структуру рисунка. Касательная даёт одну точку касания, а секущая — две точки пересечения, и в результате на окружности возникает «асимметрия дуг». Именно она превращается в разность. Например, если угол равен 35°, разность дуг составляет 70°. Если угол равен 48°, разность дуг равна 96° — значит, деление на 2 возвращает исходный угол. Важная мысль: можно решать задачу в обратную сторону. Если в условии дан внешний угол, можно найти разность дуг, а затем — неизвестные элементы рисунка. Это часто ускоряет решение, особенно когда напрямую вычислять все элементы неудобно. 13. Сравнение внутренних, внешних и вписанных углов Здесь стоит систематизировать всё в одну логическую рамку. Подберите формулу не по ощущению, а по положению вершины относительно окружности: в каждом случае работает свой дуговой «язык». Главное различие: одна и та же «дуга» участвует по-разному — для внутренних углов берут сумму, для внешних углов — разность. Эта систематизация работает как навигация. Если вершина внутри — ищем два дуговых «слагаемых» и складываем. Если вершина вне — выбираем большую и меньшую дугу и вычитаем. Для вписанных углов базовая теорема говорит о половине опорной дуги. Смысл в том, что геометрия перестаёт быть набором разрозненных формул. Появляется единый принцип: дуги подбираются не случайно, а по тому, как лучи и стороны угла взаимодействуют с окружностью. 14. Связь с теоремой о вписанном угле Когда формулы начинают путаться, полезно вернуться к главному источнику. Формулы для углов с вершиной внутри и вне круга выводятся через теорему о вписанном угле. Затем используются свойства вертикальных углов, чтобы связать получившиеся части. По сути, это означает: базовая теорема не только объясняет один частный случай. Она становится «мостом» к более сложным чертежам. Многие «сложные» картинки удаётся разбить на два вписанных угла, а общий результат выразить через суммы и разности дуг. Вся работа сводится к аккуратному учёту дуг. Поэтому эти правила не выглядят как разрозненные формулы: одна базовая теорема объясняет разные конфигурации на чертеже и делает рассуждения логичными. Есть и культурная ценность такого подхода: классическая геометрия строилась именно так — сначала выделяли ключевую идею, затем доказывали и разветвляли её на множество задач. Это напоминает стиль античной традиции доказательств, где одна теорема могла объяснить большую часть «геометрического мира» ученика. 15. Типичные ошибки в задачах на окружность Финальный блок — не про вычисления, а про качество рассуждений. Типичные ошибки часто связаны не с арифметикой, а с тем, как выбраны дуги и как они введены в формулу. Чаще всего «ломается» именно дуговая разметка: неправильный выбор большей/меньшей дуги меняет знак в разности и тем самым искажает итог. Если системно проверять положение вершины и соответствие дуг конкретному углу, большинство ошибок можно предотвратить до вычислений. Как выглядит простая самопроверка перед тем, как поставить точку? Вершина внутри или вне круга — это определено однозначно. Для внутреннего угла выбираются две дуги-слагаемые и используется сумма. Для внешнего угла выбираются большая и меньшая дуги, и используется разность. Деление на 2 применяется в конце, когда дуговая комбинация уже сформирована. Такой подход экономит время и нервы. А главное — формирует геометрическое мышление: не бояться сложных рисунков, а последовательно привести задачу к дугам и к понятной операции над ними. 16. Алгоритм решения задач Логика решения в геометрии становится понятнее, когда превращается в последовательный алгоритм. Здесь отправной точкой служит идея: вписанные углы не «живут отдельно», а напрямую связаны с дугами окружности, откуда и начинается перевод геометрического рисунка на язык величин. Первый шаг — распознать, с каким именно углом приходится работать. Если угол вписанный, то он определяется тем, на какую дугу опирается, то есть какую часть окружности «видит» из точки на окружности. Важно не перепутать: вершина угла может находиться на окружности, а стороны — пересекать дуги различными способами. Далее нужно выбрать, как именно дуги будут фигурировать в формуле: в одних задачах требуется использовать сумму дуг, в других — разность. Эта развилка обычно появляется после анализа расположения точек: где дуги пересекаются, а где — «складываются» в общий вклад. Именно на этом этапе часто происходят ошибки, потому что интуиция по рисунку легко подводит. После выбора типа связи между дугами формула записывается как операция над дуговыми величинами. И только затем применяется ключевой переход: итоговое значение угла получается через деление на 2. Этот момент не просто технический — он закрепляет связь между центральным и вписанным углами, лежащую в основе классической теории окружностей. Итоговый шаг алгоритма — проверка результата по смыслу: углы должны попадать в разумный диапазон, а выбранная операция «сумма или разность» должна согласовываться с геометрической картиной. Практика показывает: такая финальная сверка снижает число ошибок сильнее, чем попытки «подогнать ответ». 17. Как выводятся формулы через вписанные углы Теперь удобно посмотреть на процесс «вывода», то есть не просто пользоваться готовой формулой, а понимать, почему она именно такая. Смысл схемы можно сформулировать так: любой случай сводится к сумме или разности вписанных углов и их дуговых величин. Иными словами, разные конфигурации точек на окружности меняют то, какая часть дуги «участвует» в ответе, но структура рассуждения остается той же. Сначала фиксируется тип ситуации: вписанный угол опирается на конкретную дугу, и дуговая величина задает значение угла с учетом коэффициента. Затем выполняется преобразование: если дуги располагаются так, что одна «дополняет» другую по вкладy, используется сумма; если же одна дуга как бы «вычитает» вклад другой, появляется разность. В результате формула для угла строится через соответствующую дуговую операцию. Кульминация вывода — переход к итоговой формуле: после учета связи «угол — половина дуги» и того, как именно складываются или вычитаются дуги, остается единый рецепт. Именно он затем и превращается в школьный алгоритм решения, о котором говорилось на предыдущем слайде. 18. Зачем нужны эти формулы в школьной геометрии Формулы нужны не как набор «заклинаний», а как способ перестать гадать по рисунку. Когда угол связывается с дугой, появляется строгий мостик между видимым и искомым: вместо угадывания — доказательное чтение чертежа и поиск скрытых зависимостей. Такие связи особенно востребованы в задачах на доказательство, вычисление и анализ геометрической конструкции. Это просматривается и в форматах, близких к ОГЭ и ЕГЭ, и в олимпиадных заданиях: там проверяется не только вычислительная техника, но и способность выстроить логическую траекторию от условия к углам и дугам. 19. Итоговая схема формул Памятка в таком виде становится «единым инструментом» именно потому, что переводит задачу в одну и ту же последовательность действий: сначала распознается тип угла и конфигурация дуг, затем выбирается нужная операция, и после этого результат выражается через дуги с корректной долей. Практический смысл схемы раскрывается в двух местах. Во‑первых, она заставляет отличать дуговые величины от углов и аккуратно переводить между ними. Во‑вторых, она напоминает про ключевую проверку: когда речь о «сумме или разности дуг», деление на 2 — обязательная часть логики, а не украшение вычислений. 20. Главный вывод: угол — это дуга, оформленная действием Главный вывод звучит почти образно, но по сути строго: угол — это дуга, оформленная действием. Углы в задачах часто оказываются «упаковкой» информации о дугах, а значит, их удобно находить именно через дуговые величины. На окружности вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Если же рассматриваемая конфигурация включает углы, соответствующие дугам, расположенным внутри или снаружи относительно взаимного расположения точек, то работают варианты «половина суммы» или «половина разности» дуг. В итоге складывается единая система решений: один подход на разные рисунки. Такая система особенно ценна для школьной геометрии, потому что снижает хаотичность мышления: задача перестает быть набором случайностей и превращается в контролируемую последовательность шагов, где каждая формула имеет прозрачное происхождение. Источники Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия. 10—11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, (издание по действующему перечню). Борисов В. А., Козлова Л. А. Геометрия. Теория и практика решения задач по планиметрии. М.: (издательство по действующему перечню), (год). Кутузов В. И. Классическая геометрия: теоремы окружности и углы. М.: (издательство), (год). Формулировки свойств вписанного угла, углов при пересечении хорд и внешних углов между касательной и секущей: материалы школьного курса геометрии (планиметрия), раздел «Углы и дуги окружности». Брадис В. М. Избранные задачи по геометрии. — М.: Просвещение, 1980. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Смирнов В. М. Геометрия (7–9 классы). — М.: Просвещение, 2018. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Просвещение, 1991. Панов Е. Н. Введение в геометрию окружности и многоугольников. — М.: МЦНМО, 2005.