Урок 3. Ломаная линия. Многоугольник 1. Урок 3. Ломаная линия и многоугольник Сегодняшний урок — про линии, которые меняют направление «по кусочкам», и про фигуры, которые получаются из замкнутых таких линий. Это та самая геометрия, которую легко заметить вокруг: стоит только присмотреться. 2. Эти фигуры вокруг нас Ломаные линии и многоугольники действительно встречаются повсюду. Ломаный след молнии, углы забора, контуры окон и плитка на стенах — всё это подсказывает мысль: геометрия умеет быть «видимой». Даже рисунки на тетрадной обложке часто строятся из простых фигур. 3. Что такое ломаная линия Ломаная линия состоит из нескольких отрезков, которые идут один за другим и соединяются концами. Поэтому её путь выглядит не плавным, а «ступенчатым», будто шаг за шагом. Количество звеньев может быть разным: от совсем короткой цепочки до длинной «маршрутной» линии. Чем больше отрезков, тем больше поворотов приходится на рисунок — и тем заметнее характер линии. Важно и то, что ломаная не обязана замыкаться. Она может просто идти вперёд, как тропинка или маршрут, и тогда фигура не превращается в замкнутую область. 4. Звенья ломаной Каждый отрезок внутри ломаной — это звено. Чтобы легче разобраться, полезно мысленно «отделять» одно звено от следующего, как бусины на нитке, и прикидывать, где начинается и где заканчивается каждый кусочек. Звеньев бывает два, три, четыре и больше. Когда их становится больше, линии требуется больше поворотов, и изображение выглядит сложнее. Но смысл остаётся прежним: звенья соединяются концами и образуют один непрерывный путь. 5. Вершины ломаной Особое внимание стоит уделить вершинам — точкам, где ломаная меняет направление, переходя от одного звена к другому. Именно по вершинам удобно понимать, «как устроен поворот» линии. Если ломаная начинается или заканчивается, то крайние точки тоже помогают: по ним становится ясно, где путь стартует и где он обрывается. В случае незамкнутой ломаной число свободных концов равно двум. 6. Незамкнутая ломаная Незамкнутая ломаная не возвращается в начальную точку. У неё остаются два свободных конца, поэтому линия ощущается как маршрут, который кто-то прервал: как будто она не успела завершить «круг». Такую линию легко представить как тропинку или как отдельный участок молнии на небе. Она не образует закрытую границу, а значит, не ограничивает внутри себя «внутреннюю часть» плоскости как готовую фигуру. 7. Замкнутая ломаная Замкнутая ломаная начинается и заканчивается в одной и той же точке. Все её звенья соединяются без разрыва, и линия превращается в цепочку, которая возвращается к своему старту — как замкнутый контур. У такой ломаной нет свободных концов. Она охватывает часть плоскости и может стать основой для многоугольника: ведь замкнутая граница — это именно то, что нужно, чтобы «обозначить» фигуру. 8. Что такое многоугольник Многоугольник получается из замкнутой ломаной линии. Внутри такой линии есть участок плоскости, который тоже относится к фигуре: то есть важно не только по какой линии идёт контур, но и что он «ограждает». У многоугольника есть стороны, вершины и углы. Эти элементы можно находить и сравнивать: стороны — это отрезки контура, вершины — точки соединения, а углы — «повороты» между сторонами. Чем больше сторон у многоугольника, тем больше у него вершин и углов. Поэтому фигуры бывают совсем простыми — и более сложными, когда контур разбит на много частей. 9. Стороны, вершины и углы многоугольника Сначала ищем стороны: это все отрезки, из которых состоит фигура по контуру. Затем находим вершины — точки, где стороны встречаются и соединяются друг с другом. Если мысленно обвести фигуру и проследить за «узелками» соединения, вершины становятся хорошо заметными. После этого остаётся понять углы. Углы находятся между двумя соседними сторонами и показывают, где именно линия поворачивает. Стоит аккуратно посчитать стороны, вершины и углы — и тогда многоугольник становится легко узнаваемым. 10. Треугольник Треугольник — самая простая фигура среди многоугольников. Он всегда остаётся трёхсторонним: сколько бы ни менялся его размер или форма, число сторон остаётся неизменным. У треугольника стороны, вершины и угла есть у треугольника. 11. Четырёхугольник Четырёхугольник устроен «в четыре шага»: у него всегда четыре стороны, четыре вершины и четыре угла. Из-за этой чёткости многие знакомые формы легко узнаются сразу. Именно поэтому квадрат и прямоугольник относятся к четырёхугольникам: у них тоже четыре стороны и всё складывается в замкнутую границу. 12. Пятиугольник и другие многоугольники После четырёх сторон начинается ещё больше вариантов. Можно встретить пятиугольники, шестиугольники и многоугольники с ещё большим числом сторон — и каждый раз название подсказывает, сколько частей у контура. Смысл простой: количество сторон напрямую влияет на количество вершин и углов. Поэтому при счёте легко восстановить, какая именно фигура перед глазами. 13. Как отличить ломаную от многоугольника Ломаная линия может быть просто цепочкой отрезков. Если её начало и конец не соединены, фигура остаётся открытой — и тогда это не многоугольник. Многоугольник, наоборот, всегда «замыкается»: у него все звенья соединяются без разрыва. Такая линия образует границу фигуры, а внутри неё появляется часть плоскости, которая уже считается частью многоугольника. 14. Как считать стороны и вершины Считать стороны обычно начинают с отрезков. Каждый отрезок, входящий в контур, — это сторона фигуры. По сторонам быстро понимают, к какому многоугольнику относится рисунок: сколько «кусочков» у края. Дальше находятся вершины — точки, где стороны встречаются. Для простой фигуры их число соответствует числу сторон, потому что каждая сторона «закреплена» между соседними вершинами. Чтобы не запутаться, удобно запомнить маленькие пары: у треугольника три стороны и три вершины; у четырёхугольника — четыре и четыре; у пятиугольника — пять и пять. Счёт помогает удерживать порядок. А если рисунок аккуратный, стороны и вершины можно пересчитать и карандашом, и пальцем, проводя движение вдоль контура. Главное — не пропустить ни одного соединения: где стороны встречаются, там и вершина. 15. Где живёт геометрия Геометрия живёт не только в учебнике — она живёт в окружающих формах и в привычных вещах. Там, где есть углы, контуры и границы, обязательно появляются ломаные линии, замкнутые контуры и многоугольники. Один из способов «увидеть геометрию» — тренировать взгляд: замечать звенья ломаной, находить вершины, отличать открытый контур от замкнутого. Тогда обычные объекты начинают выглядеть как маленькие задачи, решаемые глазами. 16. От отрезков к многоугольнику Представим, что геометрия начинается с самых простых «кирпичиков» — отрезков. Берём несколько отрезков и соединяем их концами по очереди. Если в этой цепочке каждый следующий отрезок начинается там, где заканчивается предыдущий, появляется ломаная линия. Но самое интересное происходит, когда цепочка замыкается: конец последнего отрезка совпадает с началом первого. Тогда вместо просто линии появляется замкнутая фигура — многоугольник. Можно сказать так: ломаная — это путь, который ещё не знает, куда вернётся. А многоугольник — это путешествие, которое вернулось домой и образовало «контур-окошко». В истории математики такие идеи были важны очень давно. Ещё в «Началах» Евклида геометрия начинается с простых понятий и доводит их до точных фигур. Сначала — отрезки, потом — линии, а дальше — замкнутые формы, которые удобно изучать и сравнивать. Так что главный смысл этого шага простой: из нескольких отрезков может получиться замкнутая фигура, если линия действительно замыкается. 17. Частые ошибки Иногда ломаную линию принимают за кривую. Но у ломаной нет плавных дуг: она состоит только из отрезков, которые соединяются под углом. Ещё одна ошибка — называть многоугольником открытую линию. Если конец не соединён с началом, фигура не замкнута и не подходит под правило. Чтобы проверка была спокойной, полезно рассматривать рисунок медленно. Сначала смотрят, есть ли везде только отрезки, затем — замкнута ли линия, и наконец — совпадает ли начало с концом. Тогда ошибок становится заметно меньше. 18. Зачем нужны эти знания Умение узнавать ломаные линии и многоугольники помогает на уроках математики и в рисовании. Так легче считать фигуры, находить их признаки и не путать похожие формы, даже когда рисунок кажется «сразу разным». И есть ещё одна радость: эти знания работают и в жизни. Обычные вещи вокруг содержат геометрию — окна, дорожные знаки, узоры на ткани или плитке. Если привыкнуть видеть контуры, то даже сложные картинки начинают складываться в понятные фигуры. 19. Проверка знаний Первый шаг — назвать звенья ломаной линии и показать, где находятся её вершины. Звенья — это отрезки, а вершины — места соединения. Если это получается уверенно без подсказки, значит, части фигуры уже различаются хорошо. Дальше — определить, какая линия замкнута, а какая нет. Именно здесь обычно «прячется» главная разница: по замкнутости многоугольник отличается от простой ломаной, которая просто идёт вперёд и не возвращается к началу. Третий шаг — посчитать стороны и вершины у треугольника, четырёхугольника и пятиугольника. Числа должны совпасть, потому что у каждой фигуры своя «формула-узор»: сколько сторон, столько и вершин. И последний совет — посмотреть вокруг и найти примеры таких фигур в предметах или узорах. Когда находки появляются быстро, значит, тема действительно стала знакомой, а не просто «выученной на минутку». 20. Линия, фигура, открытие! Ломаная линия состоит из звеньев и вершин, а замкнутая ломаная превращается в многоугольник. Когда получается считать стороны, вершины и понимать, замкнута ли фигура, геометрия начинает ощущаться как дружелюбный набор правил. И это маленькое открытие — уже победа. Источники Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. Математика. Основные требования к формированию геометрических представлений (действующая редакция). Математика. Примерные рабочие программы для начальной школы: формирование понятий о линиях, многоугольниках, элементах фигур и навыков счёта сторон/вершин. Геометрия в начальном курсе: методические рекомендации по преподаванию темы «ломаная линия и многоугольник» (учебно-методические материалы для учителей начальных классов). Определения незамкнутой ломаной линии, замкнутой ломаной и многоугольника по материалам урока 3. Евклид. «Начала». Книга I (об основных понятиях и построении геометрии). С. И. Шварцбурд. Учебные материалы по элементарной геометрии (понятия ломаной и многоугольника). А. В. Погорелов. «Геометрия 7–9» (различение ломаных и многоугольников, признаки замкнутости). Л. С. Выготский. «Мышление и речь» (о значении опоры на понятия при формировании понимания изображения).