Графики функций y=f(x)+b и y=f(x+a)
1. Сдвиги графиков функций: y=f(x)+b и y=f(x+a)

Сдвиги графиков функций — это один из самых «экономных» способов изменять формулу без потери её смысла. Достаточно добавить число, и график не перестраивается заново: он просто меняет положение.

Сегодня разберём два ключевых преобразования: y=f(x)+b и y=f(x+a). В обоих случаях форма функции сохраняется, но меняется то, как именно график перемещается по плоскости — по вертикали или по горизонтали.

2. Почему знак при горизонтальном сдвиге кажется «обратным»

Самая частая путаница при горизонтальном сдвиге связана со знаком при a. На практике правило звучит так: знак внутри скобок «работает наоборот» относительно направления сдвига по рисунку.

Почему мозг сопротивляется? Потому что привычная логика «плюс — вправо» в этом случае не срабатывает: мы изменяем выражение, стоящее рядом с x, а значит перенос происходит в противоположную сторону.

Запоминание упрощает работу: различать сдвиги нужно по тому, какая координата меняется — y или x.

3. Сравнение двух сдвигов

Теперь соберём всё в одну картину: два вида сдвига — вертикальный и горизонтальный. Отличаются они не «сложностью», а тем, какая координата точки изменяется и куда график уезжает.

При вертикальном сдвиге прибавляется b в y=f(x)+b. Значит, y каждой точки меняется на одну и ту же величину, а x остаётся прежним.

При горизонтальном сдвиге используется y=f(x+a). Здесь изменяется x: координата по оси x сдвигается в противоположную сторону от знака a, а y сохраняет своё значение для соответствующей «новой» точки.

И главное наблюдение для проверки себя: форма остаётся той же, меняется только положение графика в плоскости.

4. Порядок действий при комбинированном сдвиге

Комбинированный сдвиг — это когда график одновременно меняет положение и по вертикали, и по горизонтали. Чтобы не запутаться, удобно идти по алгоритму: сначала фиксируется исходная функция, затем выполняется горизонтальный перенос, и уже после — вертикальный.

Представим порядок действий как цепочку. Сначала берётся y=f(x), затем выполняется перенос, связанный с x+a, и после этого к полученным значениям добавляется b.

Такая последовательность помогает тем, кто строит по точкам: перенос по горизонтали меняет «какие x берём», а перенос по вертикали — «какие y получаем». В результате всё складывается в один аккуратный график без деформаций и лишних пересечений.

5. Как выглядит вертикальный сдвиг на примере параболы

Вертикальный сдвиг на параболе выглядит особенно наглядно, потому что вершина и симметрия сразу показывают направление переноса.

Когда к формуле добавляют число b, парабола не «переворачивается», не сминается и не меняет свою ширину. Она просто поднимается или опускается как целая фигура.

Условно это похоже на способ «поднять» весь рисунок на листе: точки остаются на тех же расстояниях друг от друга по горизонтали, но высота относительно оси x меняется.

Если мысленно отметить несколько точек исходной параболы и затем применить прибавку b, окажется, что и вершина, и ветви сдвигаются согласованно, образуя ту же знакомую «дугу».

6. Как выглядит горизонтальный сдвиг на примере модуля

Горизонтальный сдвиг на графике модуля тоже хорошо читается, потому что у «галочки» есть заметный поворот в одной точке — в вершине.

Когда в формуле появляется x+a, точка поворота сдвигается по оси x: меняется место, где начинается «правая» и «левая» ветви. При этом углы и характер формы остаются прежними.

Особенно полезно помнить проверочную мысль: y не исчезает и не искажается — меняется то, какое значение x соответствует той же величине f(x). Поэтому график выглядит как тот же символ «V», просто перемещённый в сторону.

Если построить несколько опорных точек модуля для разных a, станет видно, что структура «V» сохраняется целиком, меняется только её положение на координатной плоскости.

7. Как выполнить два сдвига подряд

Чтобы выполнить два сдвига подряд и получить правильный график, лучше пользоваться коротким, но дисциплинированным планом.

Сначала берётся исходная функция y=f(x) и выбираются точки, по которым будет строиться график. Затем выполняется горизонтальный сдвиг, связанный с x+a: меняются координаты по оси x.

После этого применяется вертикальный сдвиг y=f(x)+b: к значениям y прибавляется одно и то же число.

В результате получается один итоговый график. Удобная привычка — каждый раз проверять два признака: форма сохраняется, а различие между вертикальным и горизонтальным переносом определяется тем, какая координата меняется.

8. Что происходит с графиком при сдвиге

График — это не «картинка из воздуха», а набор точек на координатной плоскости. При сдвиге каждая точка переносится целиком: её координаты меняются по правилам преобразования.

Поэтому важно следить за двумя вещами сразу: какой знак стоит в формуле и какая координата — x или y — оказывается затронутой.

Такой подход похож на работу с картой: меняется позиция отметки, но не её «внутреннее содержание». А в математике содержание — это форма функции.

9. Вертикальный сдвиг: идея

Вертикальный сдвиг — это тот случай, когда к значению функции добавляют число b: y=f(x)+b. Здесь каждое значение y увеличивается или уменьшается одинаково.

Смысл b — это высота. Число b показывает, на сколько единиц вверх или вниз сдвигается график: если b положительное, он поднимается, если отрицательное — опускается. При этом x каждой точки остаётся прежним.

Форма остаётся той же. Параметры вроде «ширины» и «изгиба» не меняются, потому что x не трогают. Получается как будто бы весь график «переместили» по вертикали, сохранив его геометрию.

Строить удобнее по точкам. Если взять несколько характерных точек исходного графика, то после добавления b они просто станут на ту же величину выше или ниже. По этим точкам новый график строится быстро и без ошибок.

Самопроверка. Если в процессе кажется, что график «растягивается» или «переворачивается», значит произошла подмена идеи: при y=f(x)+b таких изменений быть не должно — меняется только положение по вертикали.

10. Как меняются координаты при +b

Теперь формализуем интуицию. При вертикальном сдвиге y=f(x)+b к каждой ординате прибавляется одно и то же число b.

Это позволяет работать очень практично: не нужно пересчитывать всю функцию по множеству x. Достаточно проследить изменения на нескольких опорных точках.

Если точка на исходном графике имела координаты (x, y), то после преобразования она окажется в (x, y+b). Важно: x не меняется. Именно это делает вертикальный сдвиг самым «лёгким» для построения: меняется только высота.

По сути, график можно представить как набор столбиков: каждый столбик по той же ширине получает новый «рост» на b.

11. Пример: y=x² при двух значениях b

Рассмотрим пример: y=x² при двух значениях b. Исходная парабола y=x² начинается у нуля и имеет вершину в точке (0,0), а ветви направлены вверх.

Когда добавляем b, вершина и весь график поднимаются на величину b, если b>0, или опускаются, если b<0. Особенно это видно по вершине: она показывает, куда «переехал» весь рисунок.

Ключевой вывод из такого сравнения прост: меняется не форма параболы, а её положение по высоте. Все точки оказываются сдвинутыми на одну и ту же величину, поэтому парабола остаётся параболой — с тем же изгибом.

Именно поэтому подобные примеры часто используют в школьных курсах: они дают наглядный мостик между формулой и картинкой.

12. Типичные ошибки при вертикальном сдвиге

Типичные ошибки при вертикальном сдвиге почти всегда сводятся к двум причинам: перепутали, какую координату трогают, или забыли про знак.

Перепутать x и y. Если при y=f(x)+b пытаться двигать график по горизонтали, а не менять высоту, то получается неверное построение. Здесь меняется именно y, а x остаётся прежним.

Потерять знак b. При b отрицательном график опускается, а при положительном — поднимается. Ошибка со знаком — это как будто перепутать направление стрелки: результат будет зеркально «не туда».

Думать, что график деформируется. Некоторые представляют, что добавление b «скручивает» параболу или меняет её угол наклона. Но при вертикальном сдвиге этого нет: форма сохраняется.

Строить без опорных точек. Когда строят «на глаз», легко промахнуться. А правило преобразования говорит: удобно отслеживать изменения на нескольких точках и аккуратно перенести их на нужную высоту.

13. Горизонтальный сдвиг: идея

Горизонтальный сдвиг задаётся формулой y=f(x+a). Здесь изменяется не высота, а «доступные x»: график сдвигается по оси x.

Сдвигается x, а y остаётся смыслом. Для каждой точки исходного графика меняется расположение по оси x: новая точка появляется там, где значение x стало другим. Значение y при правильном переносе соответствует той же функции.

Знак работает «наоборот». Главная мысль: x сдвигается в сторону, противоположную знаку a. Из-за этого правило кажется обратным, но оно выводится прямо из преобразования x+a.

Форма сохраняется. Поскольку сама формула по сути не «растягивает» и не «переворачивает» график, его геометрический характер остаётся прежним. Сдвиг — это перенос положения, а не деформация.

Проверка по характерной точке. У графиков с яркими особенностями — вершинами, углами, точками перегиба — проще всего смотреть перенос: именно они показывают направление и величину горизонтального сдвига.

14. Как меняются координаты при x+a

При горизонтальном сдвиге полезно помнить правило построения новой точки: по оси x она переносится на нужное число «клеток».

Тогда логика такая: точка (x, y) исходного графика после перехода к y=f(x+a) оказывается на том же «уровне» y, но с другим x.

Ключевое свойство преобразования: y не меняется, а x сдвигается в противоположную сторону от знака a. Это самый надёжный признак горизонтального переноса: если направление получилось «как-то странно», почти наверняка причина именно в знаке при a.

Такое понимание помогает не гадать, а строить: сначала видно, как перемещается x, затем на этом месте берётся нужное y по значению функции.

15. Пример: y=|x| при разных a

Рассмотрим пример: y=|x| при разных a. График модуля — это «V», которое ломается в вершине, и эта вершина особенно чувствительна к горизонтальному сдвигу.

Когда появляется параметр a внутри |x+a|, вершина смещается по оси x. При этом угол между ветвями остаётся прежним: форма «галочки» сохраняется.

То есть модуль меняет только положение, а не характер симметрии и не «остроту» излома.

И снова вывод переносится на любые функции такого типа: параметр внутри модуля (как и внутри f(x+a)) влияет на x, поэтому график перемещается по горизонтали, но его форма остаётся неизменной.

16. Проверь себя: найди сдвиг и новую точку

Сегодняшняя проверка начинается с идеи: график меняется по понятным правилам, и тогда можно заранее предсказать, где окажутся ключевые точки. В этой работе важно не «перерисовывать всё заново», а находить сдвиг и новую позицию вершины или излома.

Сдвиг графика — это перенос всей фигуры по координатной плоскости. Например, если график параболы сдвигают на несколько единиц вправо или влево, то меняется только горизонтальная координата ключевой точки. А если сдвигают вверх или вниз — меняется только вертикальная координата.

Представим параболу как «мостик» между точками. У неё есть вершина — самая высокая или самая низкая точка (в зависимости от направления ветвей). У графика с «изломом» — как у модулей — есть точка, где меняется характер (переход от «одного наклона» к другому). Как только становится ясно, какой именно сдвиг сделан, новая вершина или новый излом находится простым переносом координат: берём старые значения, прибавляем смещение и получаем новую точку.

И главное — направление сдвига читается сразу из знаков в формуле. Как правило, плюс или минус рядом со значением внутри скобок связан именно с горизонтальным переносом, а плюс или минус снаружи — с вертикальным. Благодаря этому можно сэкономить время: формула подсказывает, что именно «переедет», и где окажется ключевая точка после переноса.

17. Как меняются точки при сдвиге

Следующий шаг — понять, как именно меняются точки при сдвиге, чтобы не тратить силы на пересчёт всей функции. Работает простое правило: чтобы построить новый график, достаточно перенести опорные точки, а не вычислять заново все остальные.

Если происходит вертикальный сдвиг, график как будто «поднимают» или «опускают» целиком: меняется только координата y. То есть каждая точка остаётся на своей горизонтали, но её высота становится другой. Вершина параболы или точка излома тоже перемещаются строго по вертикали.

Если же сдвиг горизонтальный, меняется только x. График переставляют влево или вправо, и тогда все точки сохраняют свою высоту, но оказываются на новых местах по оси x. Вершина или излом снова переезжают, но уже по горизонтали.

По сути, это похоже на перенос рисунка на клетчатой бумаге: чтобы получить новый рисунок, нужно просто сдвинуть «самые заметные точки» на такое же расстояние. Именно поэтому построение ускоряется: вместо длинной цепочки вычислений появляется короткая последовательность действий — изменить нужную координату и оставить вторую без изменения.

Дальше — самая важная часть: проверить, что построение действительно корректное. Для этого недостаточно «похоже» — нужны проверяемые признаки. К ним и перейдём.

18. Как проверить правильность построения

Проверка правильности построения — это как проверка результата в математике через смысл: график должен вести себя так, как диктуют правила формы. Чтобы сделать это надёжно, стоит пройти несколько шагов.

Соответствие ключевым точкам Сначала сверяют, куда «переехали» вершина параболы или точка излома модуля. Если эти точки оказались в неверном месте по координатам сдвига, то весь график неизбежно будет смещён. Лучше проверить их в самом начале, чем исправлять потом.

Правильное направление ветвей или наклонов Для параболы важно направление ветвей: если она открывается вверх, вершина должна быть минимальной; если вниз — максимальной. Для функций с модулем проверяют, что по обе стороны от излома наклоны соответствуют разным линейным частям.

Сохранение «формы» после переноса Сдвиг не меняет внутренний характер фигуры: парабола остаётся параболой, «ломаный» график остаётся с тем же типом излома. Поэтому форма сохраняется, меняется только положение. Это наблюдение помогает заметить типичные ошибки: когда ученик случайно «искажает» не только перенос, но и сам вид графика.

Проверка на одной-двух проверочных точках Полезно выбрать ещё одну или две точки, которые легко получить на исходном графике, и проследить их перенос. Если они после сдвига заняли ожидаемые координаты — построение верное. Такой мини-тест часто раскрывает ошибки быстрее, чем полная проверка всех точек.

Теперь, когда есть алгоритм проверки, остаётся собрать всё в короткую схему действий. Именно это и сделает следующая страница.

19. Три шага к правильному построению

Три шага к правильному построению — это способ не запутаться и действовать уверенно даже при сложных выражениях.

Шаг 1 — найти тип сдвига Сначала определяют, какой сдвиг задан: вертикальный или горизонтальный. Знаки и положение выражений в формуле обычно показывают, что именно переносится. На этом этапе цель — понять, какая координата изменится.

Шаг 2 — перенести ключевую точку Дальше берут вершину параболы или точку излома графика и переносят её на нужное расстояние по соответствующей оси. Это не догадка: координаты меняются строго по правилам. Уже здесь часто становится ясно, нет ли ошибки.

Шаг 3 — проверить характер графика Последний шаг — убедиться, что после переноса сохранилась «форма»: направление ветвей параболы или поведение по обе стороны от излома. Если ключевые признаки совпадают, значит построение сделано правильно.

Эти три шага удобны тем, что позволяют не тратить время на пересчёт всей функции. Математика становится похожей на сборку по инструкции: найдено, перенесено, проверено — и результат на месте.

20. Главное, что нужно запомнить

Главное, что нужно запомнить Теперь легко различать два главных сдвига: один двигает график вверх или вниз, другой — влево или вправо. Если следить за координатами точек, любой новый график строится быстро и без ошибок.

Источники

Асмолов А. Г., Тихонов А. Н. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2019.

Башмаков М. И. Математика. Учебник для 7–9 классов. М.: Просвещение, 2018.

Колмогоров А. Н., Абрамов А. М. Алгебра и анализ (основы преобразований графиков). М.: Наука, 1980.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: теория функций и графики преобразований. М.: Физматлит, 2002.

Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций. — М.: Мнемозина, 2019.

Петров А. В. Функции и графики: методическое пособие для основной школы. — СПб.: КультИнформПресс, 2016.

Колягин Ю. М., Бурдаков В. Н. Математика: алгебраические выражения и функции. — М.: Просвещение, 2018.

Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Практикум по алгебре и началам анализа. — М.: Юрайт, 2020.